2. Основні показники варіації

Показники варіації відносять до числа узагальнюючих показників. Вони вимірюють варіацію в сукупності явищ. У статистиці використовують наступні показники варіації:

1) розмах варіації W;

2) середнє абсолютне відхилення ;

3) середнє квадратичне відхилення σ;

4) дисперсія σ²;

5) коефіцієнт варіації υ.

Значення показників варіації полягає в наступному:

1) вони доповнюють середні величини, за якими сховані індивідуальні відмінності;

2) характеризують ступінь однорідності статистичної сукупності по даній ознаці;

3) характеризують границі варіації ознаки;

4) співвідношення показників варіації характеризує взаємозв’язок між ознаками.

Використання середньої не завжди на практиці дозволяє зробити економічні висновки.

Приклад. Обсяг продукції, випущеної бригадами, характеризується наступним співвідношенням:

Бригади	Декади			Середнє	Сума
	1	2	3
1	100	90	110	100	300
2	60	80	100	100	300

Отримані значення середньої та сумарні значення не дозволяють зробити висновки про якість роботи кожної із бригад.

Для проведення якісного аналізу використовують:

1) розмах варіації, що характеризує межі зміни ознаки, що варіюється .

W₁ = 20; W₂ = 100 – нерівномірно працюють бригади (сильно варіюється).

Недолік цього показника полягає в тому, що він враховує тільки крайні оцінки.

2) середнє абсолютне відхилення . Частинним випадком є лінійні відхилення кожного значення сукупності від середнього . При розрахунку середнього абсолютного відхилення не можна використовувати лінійні відхилення без абсолютної величини, тому що . Якщо окремі значення ознаки повторюються, то , де m_i – кількість повторень ознаки. Середнє абсолютне відхилення – це число іменоване. Його розмірність відповідає розмірності ознаки, що варіюється. Сьогодні абсолютне середнє відхилення використовується рідко через неврахування знака відхилення.

3) як правило, на практиці використовується середнє квадратичне відхилення σ, що визначається залежно від вихідної інформації:

Вид інформації	Формула розрахунку
1. Первинна інформація
2. Інформація задана у вигляді пар значень «показник-вага»
3. Інформація згрупована в дискретний ряд розподілу	, mi – частота
4. Інформація представлена як інтервальний ряд	, – середина інтервалу, – середнє по сукупності.

4) на практиці широко використовується показник варіації дисперсія – середній квадрат відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної . Оскільки і середнє абсолютне відхилення, і дисперсія є числами іменованими, то їх не можна використовувати для проведення порівняльного аналізу при різних ознаках. У цьому випадку використовують відносне відхилення, що для кожної ознаки розраховується як або . Середнє відносне відхилення розраховується залежно від аналізованої інформації:

Вид інформації	Формула розрахунку
1. Первинна інформація	,
2. Інформація згрупована в дискретний ряд розподілу
3. Інформація представлена як інтервальний ряд	, – середина інтервалу, – середнє по сукупності
4. Для зважених показників

5) загальний коефіцієнт варіації визначається як відношення іменованого абсолютного показника до середньої величини. Виражається в коефіцієнтах і відсотках. Виділяють:

• лінійні коефіцієнти варіації: , , ;

• квадратичні коефіцієнти варіації: , , ;

• коефіцієнти варіації осциляції: , , .

При аналізі сукупності, якщо варіація відсутня, . За допомогою коефіцієнта варіації порівнюються розміри варіації однієї ознаки в декількох сукупностях.

Міри варіації для згрупованих даних.

Варіація згрупованих даних оцінюється дисперсією. Виділяють три види дисперсії: загальна σ², внутрігрупова , міжгрупова δ^2.

Загальна дисперсія вимірює варіацію ознаки по всій сукупності під впливом всіх факторів .

Внутрігрупова дисперсія вимірює варіацію ознаки всередині групи і розраховується по формулі , – середнє по групі.

Міжгрупова дисперсія вимірює коливання групових середніх навколо загальної середньої . Міжгрупова дисперсія вимірює варіацію, обумовлену ознакою, покладеною в основу групування.

Існує взаємозв’язок трьох видів дисперсій , де являє собою середню із внутрігрупових дисперсій . Суть взаємозв’язку полягає в тому, що виникаюча під впливом всіх факторів загальна дисперсія повинна дорівнювати сумі дисперсій, що виникають за рахунок фактора групування і всіх інших факторів.

Приклад. Розрахувати параметри варіації для даних, представлених таблицею, що характеризує виготовлення виробів залежно від технічного навчання.

Табельний номер	Технічне навчання	Виготовлення виробів
1	Так	9
2	Ні	8
3	Ні	6
4	Так	7
5	Ні	7
6	Так	8
7	Так	8
8	Ні	7

1) Групуємо робітників по ознаці «технічне навчання».

Групи робітників	Число робітників	Виготовлення	Групова середня
Пройшов тех. навчання	4	9, 7, 8, 8	8
Не пройшов	4	8, 6, 7, 7	7

2) Визначаємо загальне середнє по всій сукупності.

, , .

3) Розраховуємо загальну дисперсію. Для цього будуємо таблицю:

Виготовлення х	Частота f
9	1	1,5	2,25	2,25
8	3	0,5	0,25	0,75
7	3	-0,5	0,25	0,75
6	1	-1,5	2,25	2,25
Сума	8			6

, .

4) Розраховуємо дисперсію по кожній групі (внутрігрупові):

Виготовлення х	Частота f
Група 1
9	1	1	1	1
8	2	0	0	0
7	1	-1	1	1
Сума	4			2
Група 2
8	1	1	1	1
7	2	0	0	0
6	1	-1	1	1
Сума	4			2

; .

5) Розраховуємо середню із внутрігрупових дисперсій:

, .

6) Знаходимо міжгрупову дисперсію:

, .

При нормальному законі розподілу зміна індивідуальних значень ознаки перебуває в інтервалі (правило трьох сигм).

Приклад. Результати вибіркового спостереження над кілометражом пробігу партії 250 автопокришок наступні: = 48 тис. км., σ² = 15 тис. км. За правилом трьох сигм можна зробити висновок про те, що кілометраж пробігу по всій сукупності автопокришок лежить у межах 48000 ± 45000 = [3000 – 93000]. Такі показники характеризують недостатню стабільність виробничого процесу.

Показники не дають повної характеристики сукупності. Для цього існують закони розподілу. Для характеристики законів розподілу використовують показники: момент, ексцес і асиметрія.

Статистичний момент характеризує напрямок, прикладений до варіанти. Моменти – узагальнююча характеристика розподілу. Моментом k-го порядку називається середня з відхилення ступеня k ознаки x від деякої величини А. . Залежно від величини А розрізняють моменти: початкові, умовні і центральні.

Початкові моменти (при А = 0) виділяють:

1) нульового порядку M₀ = 1, k = 0.

2) першого порядку M₁ = , k = 1.

3) другого порядку M₂ = , k = 2.

4) третього порядку M₃ = , k = 3.

Умовні моменти ­– початкові моменти відносно x₀ (A = x₀). .

Центральні моменти (розраховуються при А₀ = ):

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Центральний момент використовується для числового виміру асиметрії, що розраховується як . Асиметрія характеризує скошеність розподілу. Ексцес характеризує гостровершинність розподілу і розраховується як .

Для узагальнюючої характеристики варіації в однорідній сукупності використовуються закони розподілу. Всі існуючі характеристики (показники середнього рівня, показники, варіації, асиметрії, ексцесу) описують форму кривої розподілу. На практиці багато розподілів підкоряються нормальному закону. Розподіл називається нормальним, якщо результат є впливом численних факторів, не пов’язаних один з одним, і вплив кожного з них вважається незначним у порівнянні із загальним впливом.