Практическая работа №3. Минимизация переключательной функции методом карт Карно.

Цель:

Теоретические сведения

Преобразование и минимизация логических выражений.

При использовании аналитических форм преобразования логических функций стремятся к их упрощению, выражая сложные логические функции через более простые.

Система логических функций называется функционально полной или базисом, если любую логическую функцию можно представить в аналитической форме через эти функции, взятые в любом конечном числе экземпляров каждая.

Возможность представления любой логической функции в ДСНФ или КСНФ означает, что логические функции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (И, ИЛИ, НЕ) образуют функционально полную систему или основной базис.

Базис И, ИЛИ, Не является избыточным, так как из него всегда можно исключить, используя формулу де Моргана, либо функцию И, заменяя ее на ИЛИ и НЕ:

,

Либо функцию или, заменяя на И и НЕ:

.

Базисы функций И, НЕ и ИЛИ, НЕ называются нормальными базисами. При удалении хотя бы одной из функций функционально полноценная система становится неполной.

Функциональной полнотой обладают также системы, состоящие из одной логической функции: отрицания конъюнкции (И-НЕ), названной операцией Шеффера, или отрицания дизъюнкции , названной операцией Пирса. С помощью любой из этих функций, образующих универсальный базис, можно выразить основные логические функции: конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, а следовательно – и любую другую логическую функцию.

Процесс упрощения аналитического выражения логических функций называют минимизацией. В результате минимизации сокращаются затраты оборудования в процессе технической реализации. Помимо минимизации числа логических функций, участвующих в исходном выражении, стремятся к их однородности.

Существуют различные методы минимизации, из которых мы рас­смотрим два метода: метод непосредственных преобразований логи­ческого выражения и метод минимизирующих карт Карно.

Метод непосредственных преобразований основан на последова­тельном исключении переменных исходного выражения с использо­ванием законов алгебры логики. С этой целью в ДСНФ исходной логи­ческой функции выявляются так называемые соседние минтермы, т.е. такие, в которых имеется по одной несовпадающей переменной, на­пример, и ; и . При вынесении за скобки общих множителей в таких минтермах происходит исключение одной переменной и они склеиваются в одну конъюнк­цию. Например:

;

Конъюнкции, образованные в результате склеивания, называют­ся импликантами. Полученные после склеивания импликанты скле­иваются повторно и так до тех пор, пока склеивание возможно. На­пример:

;

Проиллюстрируем метод непосредственных преобразований одним примером. Пусть логическая функция трех переменных (x, y, z) в таблице:

Логическая функция трех переменных

x y z	F	x y z	F
0 0 0	1	1 0 0	0
0 0 1	1	1 0 1	0
0 1 0	1	1 1 0	0
0 1 1	1	1 1 1	0

Образуем ДСНФ данной функции:

.

Здесь первая и вторая, а также третья и четвертая конъюнкции яв­ляются соседними. Склеивая эти конъюнкции, получим:

К полученным импликантам применим повторное склеивание:

.

Таким образом, в результате выполнения преобразований исходная функция трех переменных оказалась инверсией лишь одной перемен­ной х. В этом также можно убедиться, проанализировав таблицу..

Рассмотренный метод минимизации путем непосредственных преобразований достаточно прост, особенно при небольшом числе переменных. Недостатком метода является то, что он не указывает строго формализованный путь минимизации. При большом числе переменных минтермы могут группироваться по-разному, в резуль­тате чего можно получить различные упрощенные формы заданной функции. При этом мы не можем быть уверены в том, что какая-то из этих форм является минимальной. Возможно, что получена одна из тупиковых форм, которая больше не упрощается, не являясь при этом минимальной.

Более строгим является метод минимизации, основанный на примене­нии карт Карно. Карты Карно представляют собой таблицы, разделен­ные на клетки. Число клеток равно числу различных наборов аргументов, каждая клетка соответствует определенному набору этих аргументов.

В таблицах показаны карты Карно для двух(а), трех(б) и четырех(в) аргумен­тов, содержащие соответственно 4,8 и 16 клеток.

а)

б)

в)

В клетки карты Карно, соответствующие тем наборам аргумен­тов, для которых минимизируемая функция в соответствии с задан­ной таблицей принимает единичное значение, заносятся единицы. При этом две конъюнкции, находящиеся в соседних клетках карты, могут быть заменены одной конъюнкцией, содержащей на одну пе­ременную меньше. Если соседними являются две пары конъюнкций, то такая группа из четырех конъюнкций может быть заменена конъюнкцией, которая содержит на две переменные меньше. В общ случае наличие минтермов в 2° соседних клетках позволяет исклю­чить n переменных.

Правила применения карт Карно состоят в следующем.

1. Если единица находится в двух соседних клетках строки, столбца или на противоположных концах любой строки или столбца, то соот­ветствующие этим единицам конъюнкции заменяются одной конъюн­кцией на ранг ниже, причем в нее включаются переменные с одинако­выми показателями инверсии.

2. Если четыре клетки составляют большой квадрат, строку или стол­бец, то соответствующие им конъюнкции заменяются одной на два ранга ниже, в которую включены переменные с одинаковыми показателями инверсии.

3. Конъюнкции, соответствующие оставшимся единицам, сохраня­ются без изменения.

Рассмотрим применение карт Карно на примерах.

Для функции F(x₁,x₂,x₃), заданной в таблице, ДСНФ имеет вид:

.

Значение функции трех аргументов.

			F( )				F( )
0	0	0	0	1	0	0	1
0	0	1	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1

Далее приведена карта Карно, соответствующая этой функции:

В правом крайнем столбце этой карты соседним единицам соот­ветствуют конъюнкции и , которые заменя­ются одной конъюнкцией на ранг меньше с одинаковыми показате­лями инверсии переменных, т.е. . Две оставшиеся единицы находятся в соседних клетках второй строки, поэтому соответствую­щие им конъюнкции и заменяются одной . В результате минимизированная ДСНФ исходной функции примет вид:

.

который значительно проще первоначальной ДСНФ, имеющий в соот­ветствии с табл. 3.4 вид:

.

Рассмотрим теперь пример минимизации функции четырех аргу­ментов, ДСНФ которой задана в виде:

.

По карте Карно конъюнкции, образовавшие большой квад­рат, понижаются на два ранга, конъюнкции, находящиеся в двух сосед­них клетках, понижаются на один ранг, а одиночная конъюнкция оста­ется без изменения.

			1	1
	1		1	1
	1	1

В результате получим:

.

В заключение отметим, что метод карт Карно, по существу, упрощает нахождение склеиваемых конъюнкций в ДСНФ исходной логической функции.