12. Временные ряды. Общие понятия

Временным рядом (ВР) называется упорядоченная во времени последовательность значений какой-либо физической или экономической величины. Классическим примером ВР может служить курс акций, валют и т.п. за определенный промежуток времени (день, месяц, год). График на рисунке 1.1 иллюстрирует наиболее общий вид ВР, в котором присутствуют циклическая (сезонная), монотонная (тенденция) и случайная составляющие. Модель ВР, в которой эти компоненты складываются называется аддитивной, перемножаются – мультипликативной. К основным задачам эконометрического исследования ВР относятся:

1. определение параметров каждой из составляющих;

2. выяснение причинных механизмов, порождающих этот ряд;

3. прогноз будущих значений ВР;

4. управление процессом, порождающего ВР.

Совокупность тенденции и циклической компоненты будем называть трендом. Тогда ВР можно считать комбинацией тренда и случайной составляющей. При наличии тренда каждое последующее значение ВР зависит от предыдущего, но из-за наличия случайной составляющей связь эта также носит вероятностный характер. Для характеристики степени такой связи вполне может быть использован коэффициент корреляции, который в данном применении чаще называют коэффициентом автокорреляции, поскольку сравниваются разнесенные во времени значения одной и той же величины.

В таблице 12.1 приведены уровни временного ряда расходов на конечное потребление за 8 лет и результаты некоторых промежуточных вычислений, необходимых для расчета коэффициента автокорреляции первого порядка, характеризующего связь между соседними уровнями.

Табл.12.1

t	yt	yt-1
1	7	-	-	-	-	-
2	8	7	-3,29	-3	9,87	9	10,8
3	8	8	-3,29	-2	6,58	4	10,8
4	10	8	-1,29	-2	2,58	4	1,66
5	11	10	-0,29	0	0	0	0,084
6	12	11	0,71	1	0,71	1	0,504
7	14	12	2,71	2	5,42	4	7,34
8	16	14	4,71	4	18,8	16	22,2
Итого	79	70	0	0	44	38	53,4

Следует иметь в виду, что в этой таблице сумма во второй колонке и среднее значение подсчитывается без учета самого первого уровня ВР. Коэффициент автокорреляции первого порядка для данного примера

(12.1)

близок к 1, что свидетельствует о тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и предшествующего периодов или, что то же, о сильной линейной тенденции.

Формула для коэффициента автокорреляции второго порядка будет отличаться от (12.1) другими значениями средних и заменой y_t-1 на y_t-2. Как нетрудно заметить, число уровней ряда, участвующих в расчете r₂ уменьшится еще на 1 и станет равным 6. Уменьшение объема выборки, по которой находятся статистические оценки отрицательно сказывается на точности последних, в связи с чем существует правило, согласно которому максимальный порядок оцениваемого по выборке коэффициента корреляции не должен превышать n/4, где n – общее число уровней ВР. Для данных таблицы 12.1 r₂ = 0,973.

Следует напомнить, что коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи. Поэтому, если он близок к нулю, то это не означает отсутствия связи вообще. Вполне возможно, что связь есть, но она носит существенно нелинейный характер. Такая ситуация возможна, например, в случае явного преобладания циклической компоненты ВР над другими.

Последовательность коэффициентов автокорреляции возрастающего порядка называется автокорреляционной функцией, а ее график – коррелограммой. Их анализ позволяет выявить лаг (порядок коэффициента автокорреляции), при котором связь наиболее тесная. Если наибольшим оказался коэффициент автокорреляции 1-го порядка, то это означает наличие в ВР главным образом тенденции. Если наибольшим оказался r_τ c τ > 1, то главной составляющей ВР является циклическая с периодом τ.

Значимость отличия коэффициента корреляции от нуля можно проверить путем сравнения статистики

с критическим значением распределения Стьюдента t_n-2(α). При t > t_n-2(α) гипотезу о отсутствии связи между соответствующими уровнями ВР есть основания отвергнуть.

Если ни один из коэффициентов автокорреляции не оказался значимо отличным от 0, то можно сделать одно из двух предположений. Либо ВР содержит только случайную составляющую, либо тенденция есть, но она носит существенно нелинейный характер.

В последнем случае можно прибегнуть к характеристике тесноты связи на основе коэффициента ранговой корреляции Спирмэна. Последний подсчитывается по той же формуле, что и обычный коэффициент корреляции, но вместо значений СВ подставляются их ранги – номера мест в упорядоченном по величине ряду значений СВ.