11. Косвенный метод наименьших квадратов

Применяется для перехода от ПФМ к СФМ в случае идентифицируемости системы. Допустим задана, как нетрудно заметить, идентифицируемая СФМ вида

(11.1)

Соответствующая ей ПФМ

(11.2)

Имеются эмпирические данные по входящим в СФМ переменным, представленные в таблице 11.1

Табл.11.1

Регион	у1абс	у2абс	х1абс	х2абс
1	2	5	1	3
2	3	6	2	1
3	4	7	3	2
4	5	8	2	5
5	6	5	4	6
Среднее	4	6,2	2,4	3,4

В таблице 11.2 те же данные представлены в виде отклонений от среднего

Табл. 11.2

Регион	y1	y2	x1	x2
1	-2	-0,8	-1,4	-0,4
2	-1	-0,2	-0,4	-2,4
3	0	0,8	0,6	-1,4
4	1	1,8	-0,4	1,6
5	2	-0,8	1,6	2,6

Благодаря переходу к отклонениям от среднего система для нахождения неизвестных коэффициентов δ₁₁, δ₁₂ по МНК состоит лишь из двух уравнений

,

решение которых δ₁₁ = 0,852; δ₁₂ = 0,373.

Вычисляя по аналогичной схеме параметры второго уравнения системы (11.2), получаем окончательно ПФМ в виде

(11.3)

Выразив х₂ из второго уравнения (11.3) и подставив полученное выражение в первое, получим после элементарных преобразований

(11.4)

По аналогичной схеме получаем второе уравнение СФМ в виде

(11.5)

Можно было не переходить от абсолютных значений переменных к их отклонениям от среднего. Тогда окончательная СФМ получилась бы в виде

, (10.6)

где свободные члены можно вычислить по формулам

Теперь попробуем найти параметры СФМ непосредственно по исходным данным без перехода к ПФМ и обратно, рассматривая эндогенные переменные как самые обычные факторы множественной регрессии. Первое уравнение СФМ приобретает в этом случае вид

(11.7)

второе

(11.8)

Сравнивая “правильные” уравнения (11.6) с “неправильными” (11.7), (11.8) видим существенную разницу не только в значениях коэффициентов, но и их знаках. Это наглядно иллюстрирует последствия нарушения предпосылок МНК и необходимость специальных методов нахождения параметров систем взаимосвязанных эконометрических уравнений.

Двухшаговый метод наименьших квадратов

Этот метод был разработан для сверхидентифицируемых систем эконометрических уравнений, но может применяться и для идентифицируемых. Его название обусловлено тем, что МНК применяется дважды, сначала для нахождения параметров ПФМ, а затем – для нахождения параметров СФМ.

Пусть в предыдущем примере имеется дополнительное условие b₁₂ = a₁₁. Это уменьшает число неизвестных параметров СФМ до трех при, по-прежнему, четырех параметрах ПФМ. Нетрудно показать, что первое уравнение (10.1) в этом случае приобретает вид

Y₁ = b₁₂(Y₂ + x₁)

и становится сверхидентифицируемым, как и вся система. Параметры ПФМ уже были найдены ранее (см. (10.4), (10.5)), поэтому происхождение колонок таблицы 11.1 должно быть понятно.

Табл. 11.1

x1	x2	Y2	Y2 +x1=z	y1	y1z	z2
-1,4	-0,4	0,103	-1,297	-2	2,594	1,682
-0,4	-2,4	0,042	-0,358	-1	0,358	0,128
0,6	-1,4	-0,035	0,565	0	0	0,319
-0,4	1,6	0,02	-0,380	1	-0,380	0,144
1,6	2,6	-0,130	1,476	2	2,94	2,161
Итого	0	0	0	0	5,512	4,434

Первые две и пятая дублируют соответствующие колонки таблицы 10.2, третья вычисляется по формуле (10.4), четвертая представляет собой сумму по строкам первой и третьей колонок. 6-я и 7-я колонки вычисляются по очевидным формулам для последующего использования в нормальной системе уравнений МНК для нахождения коэффициента b₁₂ регрессионного уравнения

Y₁ = b₁₂z

Благодаря использованию в качестве переменных отклонений от среднего в нем нет свободного члена, и нормальная система вырождается в единственное уравнение

b₁₂ = 1,243

Таким образом, окончательно конкретизированная СФМ имеет вид

Двойной МНК может быть применен и к идентифицируемой СФМ и при этом результаты совпадут с полученными по косвенному МНК, в связи с чем в специализированных пакетах эконометрических исследований заложен именно двухшаговый МНК.

Для исходного примера с идентифицируемой СФМ после нахождения параметров ПФМ, в случае использования двухшагового МНК, надо было бы находить параметры обычной линейной множественной регрессии с двумя факторами y₂, х₁ и результирующим признаком Y₁, вычисленным по формуле (11.4)

Более сложный алгоритм идентификации модели в ситуации, когда все уравнения СФМ сверхидентифицируемы. Но на практике этот случай встречается крайне редко и здесь не рассматривается.