6. Нелинейная регрессия

В случае нелинейности функции Y(x) регрессия называется нелинейной. Например, равносторонняя гипербола

Различают два класса нелинейных регрессий:

• нелинейные относительно включаемых в модель факторов(объясняющих переменных), примером чего может служить парабола второй степени Y= a+bx + cx² или та же гипербола;

• нелинейные по оцениваемым параметрам, например упомянутая выше степенная функция

Нелинейности первого вида путем замены переменных легко преобразуются в линейные функции, после чего к ним применимы методы оценки параметров, рассмотренные выше.

Например, известна модель зависимости доли расходов y на товары длительного пользования от дохода x в виде . Обозначив ln x = z, приходим к обычной линейной парной регрессии с нормальной системой уравнений

Используя эмпирические данные из таблицы 6.1, получаем эту же систему в виде

Табл.6.1

Доход, тыс.$, x	1	2	3	4	5	6
% расхода на ТДП, y	10	13,4	15,4	16,5	18,6	19,1
Y	9,9	13,4	15,5	17,0	18,1	19,1
Y-y	-0,1	0	0,1	0,5	-0,5	0

решая которую, находим b0 = 9,9; b1 = 5,13 и соответствующие значения Y, представленные в той же таблице.

Как видно из величины разности между фактическими и вычисленными значениями результирующего признака, модель получилась достаточно точной.

В связи с широким распространением и доступностью компьютерных программ нелинейной оптимизации, например, опции «Поиск решения» пакета Excel, особой нужды в переходе к линейной модели нет. Найти параметры нелинейной модели можно и численными методами, тем более что нелинейности второго вида, например,

невозможно линеаризовать.

Для оценки качества нелинейной модели также как и в линейном случае можно провести дисперсионный анализ и вычислить коэффициент детерминации R², который в этом случае принято называть индексом детерминации. Корень квадратный из этой величины называют индексом корреляции. Очевидно, что от ранее рассмотренного коэффициента корреляции он отличается диапазоном изменения [0,1] Находит применение на практике оценка качества полученной модели по величине

Модель считается удовлетворительной, если величина A < 10%. Для рассмотренного примера A = 1,2%.

Таким образом нелинейный регрессионный анализ, особенно с учетом возможностей современных компьютерных методов, мало чем отличается по методике и сложности от линейного.

Следует особо сказать о степенной функции (6.1). Параметр С этой функции имеет четкое экономическое истолкование как коэффициент эластичности, показывающий, на сколько процентов изменится результирующий признак при изменении на 1% фактора х. Так, например в модели зависимости спроса на товар в зависимости от цены , увеличение цены на один процент приводит к уменьшению спроса в среднем на 1.1%, что следует из формулы расчета эластичности

Для степенной функции f’(x) = aCx^C-1 и тогда Э = С.