22. Динамические эконометрические модели

Возникают, когда текущее значение результирующего признака y_t зависит от значений факторов или самого признака не только в текущий, но и в прошлые моменты времени t-1, t-2, ...t-l . Например, на прибыль текущего периода вполне могут оказать влияние расходы на рекламу или маркетинговые исследования прошлых периодов. Величина запаздывания называется лагом, а факторы x_t-1, x_t-2,… x_t-l – лаговыми переменными.

Модель с распределенным лагом имеет вид

y_t = a + b₀ x_t + b₁ x_t-1 + b₂ x_t-2 +...+ ε_t (22.1)

Модель авторегрессии

y_t = a + b₀ x_t + c₁ y_t-1 + c₂ y_t-2 +...+ ε_t (22.2)

Коэффициент b₀ в (21.1) называют краткосрочным мультипликатором,

b₀ + b₁ – промежуточным, b = b₀ + b₁ +...+ b_l – долгосрочным.

Назовем β_j = b_j/b, j = 0,1,2 ...l – относительным коэффициентом модели

Средний лаг показывает средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент t. Наконец медианный лаг l_m находится из соотношения . Например, объем продаж Y_t и расходы на рекламу оказались связаны зависимостью

Y_t = -0.67 + 4.5 x_t + 3x_t-1 + 1.5x_t-2 + 0.5x_t-3

Это означает, что вследствие расхода 1 млн. руб на рекламу в текущем периоде объем продаж в том жн периоде возрастает на 4.5 млн. руб в том же периоде, в следующем -7.5 млн, руб, в послезавтрашнем (t+2) 9 млн. руб. и, наконец, b = 9.5 .

β₁ = 4.5/9.5 = 0.474; β₂ = 0.316; β₃ = 0.158 β₄ = 0.053. Трактовка следующая: в результате проведения рекламной компании 47.4% увеличения продаж происходит в момент ее проведения, 31.6% - в следующем и т.д. Средний лаг получился 0.791 мес. Медианный – чуть больше 1 мес. Есть определенные трудности при нахождении параметров модели (22.1) по экспериментальным данным, обусловленные коррелированностью лаговых значений фактора, что нарушает предпосылки МНК, но они вполне преодолимы.

В простейшей модели авторегрессии y_t = a + b₀ x_t + c₁ y_t-1 + ε_t b₀ тоже краткосрочный мультипликатор. Последовательно подставляя предыдущее выражение в последующее, получаем мультипликатор для момента t+1 c₁b₀ + b₀, для момента t+2 c₁² b₀ + c₁b₀ + b₀ и т.д. Тогда долгосрочный лаг

. (22.3)

Последнее условие означает, что фактор с большим лагом оказывает меньшее воздействие на результат чем фактор с меньшим лагом. В противном случае модель вообще становится неустойчивой.

Например, была получена модель зависимости объема потребления y_t от душевого дохода x_t в виде y_t = 3 + 0.85x_t + 0.1 y_t-1 . Видно, что увеличение дохода на 1 тыс. руб. ведет к увеличению потребления на 850 руб в краткосрочном периоде. Долгосрочная склонность к потреблению согласно (21.3) b = 0.85/(1-0.1) = 0.944. Промежуточная склонность к потреблению получают частичным суммированием. Например, через год

(0.85+0.85 ^. 0.1) = 0.935. Это означает, что если в этом году доходы увеличатся на 1 тыс.руб, то в следующем году потребление возрастет на 935 руб.