21. Оценка взаимосвязи двух временных рядов

Казалось бы, что для оценки степени связи 2-х ВР x_t, y_t вполне можно применить коэффициент корреляции r. Но не все так просто. В литературе описан случай оценки связи по этому показателю динамики роста числа выпускников ВУЗов и числа мест в санаториях и домах отдыха за период 1970 – 1990 гг., при этом r оказался равным 0.8, т.е. достаточно близким к 1.Но никакой логики в такой связи не просматривается. Дело в том, что у обоих ВР имела место хорошо выраженная линейная тенденция, а также циклические компоненты с одинаковым периодом, что и объясняет столь большое значение коэффициента корреляции для фактически ничем не связанных между собой величин. Такая ситуация называется ложной корреляцией. Поэтому прежде чем анализировать взаимосвязь 2-х ВР необходимо элиминировать (устранить) воздействие регулярных компонент на оценку.

Для этого существует несколько способов. В методе отклонения от тренда анализируются ВР с удаленными трендами (совокупность тенденции и циклической компоненты). В методе последовательных разностей рассматриваются ряды первых разностей от исходных. Наконец в моделях с включением фактора времени в самом простом случае рассматривается ВР

y_t = b₀ + b₁x_t + b₂t + ε_t (21.1)

Если остаток ε_t отвечает условиям применимости МНК, то значимость коэффициента b₁ говорит о наличии связи. Добавим к расмотренному ранее (см. табл. 12.1) ВР расходов на потребление y_t ВР доходов x_t за тот же период

t	1	2	3	4	5	6	7	8
yt	7	8	8	10	11	12	14	16
xt	10	12	11	12	14	15	17	20
εt	0.3	-0.3	-0.4	0.4	-0.2	-0.3	0.1	0.1

Ряды x_t, y_t содержат линейные тенденции, которые можно охарактеризовать коэффициентами автокорреляции 1-го порядка r_1y =0.976 и r_1x =0.88, соответственно, что способствует возникновению ложной корреляции и требует мер по ее элиминированию.

Модель ряда (21.1) получилась в виде

Y_t = 1.15 + 0.49 x_t +0.63t (21.2)

Если бы рассматривалась пространственная модель связи доходов с потреблением, т.е. все данные были бы собраны в одно время, но по разным домохозяйствам, регрессионная модель приобрела бы вид

Y(x) = -2.04 + 0.92x

Сравнивая коэффициенты b₁ этих моделей, видим заметное различие, а значимость коэффициента b₂ в (21.2) подтверждает необходимость элиминирования тенденций в этих ВР. Коэффициент b₁ = 0.49 означает, что при увеличении доходов на одну денежную единицу расходы на потребление увеличиваются в среднем на половину той же единицы, коэффициент 0.63 характеризует абсолютный прирост расходов за год. Значимость по F-критерию коэффициента b₁ = 0.49 говорит о наличии связи между ВР, но теперь эта связь очищена от ложной корреляции. Если такую же процедуру применить к примеру с выпускниками ВУЗов и местами в домах отдыха, наверняка оказалось, что коэффициент b₁ модели (21.2) оказался бы незначимым, а коэффициент b₂, наоборот, значимым.

В ситуации, когда между двумя ВР экономических показателей обнаруживается связь при достаточно большом периоде наблюдения (10-20 лет) говорят о коинтеграции ВР. Установление такой связи в ряде случаев очень полезно, т.к. позволяет по изменениям одного прогнозировать изменения другого. Согласно основной теореме коинтеграции связь между x_t, y_t имеет место, если существует такая линейная комбинация, что ВР

ε_t = y_t – a - b x_t

является стационарным случайным процессом. Существует критерий Энгеля - Грангера проверки этого, для чего:

1. Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии коинтеграции

2. По МНК рассчитываются параметры линейной регрессии

Δε_t = a + b ε_t , где Δ ε_t = ε_t - ε_t-1 – первая разность

3. Определяется значение критерия τ = a/s_a, где s_a – СКО коэффициента a, определяемая по формуле (18.4)

4. Полученное значение сравнивается с табличными значением критерия Энгеля – Грангера, которое для уровня значимости α = 0.05 составляет 1.944

5. При превышении вычисленного значения критерия над табличным гипотеза Н₀ отвергается и коинтеграция признается имеющей место.

Для рассматриваемого примера, ввиду малого объема данных говорить о коинтеграции не представляется возможным, но такая проверка по данным, собранным за два десятилетия, подтвердила наличие коинтеграции между доходами домохозяйств и их расходами на потребление.