14. Выделение циклической составляющей временного ряда
Данная процедура также начинается со сглаживания, но, в отличие от предыдущего раздела, она носит последовательный локальный характер, т.е. относится к очередному ограниченному интервалу ВР. Наиболее простым методом локального сглаживания является простое скользящее среднее (Simple Moving Average – SMA), которое для конкретного момента времени t находится как среднее арифметическое от ближайших симметрично расположенных относительно yt уровней ВР. Диапазон, к которому относится SMA, если речь идет о выделении циклической составляющей, выбирается равным предполагаемому периоду циклической составляющей. Следующее SMA относится к моменту времени t+1, затем – t+2 и т.д. Очевидно, что число сглаженных точек ВР будет на величину выбранного периода меньше числа исходных.
Квартал, t |
Прибыль, yt |
SMA(4) |
SMA(2) |
yt - SMA(2) |
1 |
72 |
|
|
|
2 |
100 |
|
|
|
3 |
90 |
81,5 |
81,25 |
8,75 |
4 |
64 |
81 |
80 |
-16 |
5 |
70 |
79 |
77,75 |
-7,75 |
6 |
92 |
76,5 |
75,75 |
16,25 |
7 |
80 |
75 |
74 |
6 |
8 |
58 |
73 |
71,5 |
-13,5 |
9 |
62 |
70 |
68,5 |
-6,5 |
10 |
80 |
67 |
65,75 |
14,25 |
11 |
68 |
64,5 |
63,25 |
4,75 |
12 |
48 |
62 |
59,5 |
-11,5 |
13 |
52 |
57 |
54,75 |
-2,75 |
14 |
60 |
52,5 |
50,25 |
9,75 |
15 |
50 |
48 |
|
|
16 |
30 |
|
|
|
Полученный в результате сглаживания ряд можно еще раз сгладить. Обычно к повторному сглаживанию прибегают с целью совпадения центров интервала сглаживания с исходными значениями моментов времени. В таблице 14.1 приведены исходные данные и результаты сглаживания для ВР, изображенного на рис. 1.1. В 3 колонке этой таблицы представлено SMA по четырем подряд значениям исходного ряда.
Табл. 14.1 Поквартальная прибыль туристической компании
В 4 колонке проведено повторное сглаживание по двум значениям с целью совмещения аргументов исходного и сглаженного ВР. В пятой – грубая оценка циклической компоненты как разности между сглаженным и исходным уровнями ВР. Результаты дальнейшей обработки представлены в таблице 14.2.
Табл. 14.2 Расчет циклической компоненты
Год |
Квартал |
|||
I |
II |
III |
IV |
|
1 |
|
|
8,75 |
-16 |
2 |
-7,75 |
16,25 |
6 |
-13,5 |
3 |
-6,5 |
14,25 |
4,75 |
-11,5 |
4 |
-2,75 |
9,75 |
|
|
Среднее за квартал |
-5,666667 |
13,41667 |
6,5 |
-13,6667 |
Скоррек. среднее |
-5,8125 |
13,27083 |
6,3541667 |
-13,8125 |
Коррекция среднего за квартал по всем 4 годам в таблице 14.2 произведена с целью исключения постоянной составляющей в циклической компоненте ВР. Для этого из каждого среднего по кварталу вычтено среднее от первоначальной оценки циклической компоненты. Эта разность представлена в последней колонке таблицы 14.1. Показателем достижения сформулированной цели является равенство нулю суммы чисел в последней строке таблицы 14.2.
Используя методы предыдущего раздела, нетрудно получить параметры уравнения для тенденции ВР в виде T = 90,6 – 2,77t
Окончательно таблица анализа и графики компонент ВР показаны ниже
Табл.14.3.Тенденция (Т), циклическая (С)
и cлучайная (Е = yt – T - C) компоненты
аддитивной модели ВР таблицы 14.1
Квартал, t |
Прибыль, yt |
T |
C |
E |
1 |
72 |
87,83 |
-5,81 |
-10,02 |
2 |
100 |
85,06 |
13,27 |
1,67 |
3 |
90 |
82,29 |
6,35 |
1,36 |
4 |
64 |
79,52 |
-13,8 |
-1,72 |
5 |
70 |
76,75 |
-5,81 |
-0,94 |
6 |
92 |
73,98 |
13,27 |
4,75 |
7 |
80 |
71,21 |
6,35 |
2,44 |
8 |
58 |
68,44 |
-13,8 |
3,36 |
9 |
62 |
65,67 |
-5,81 |
2,14 |
10 |
80 |
62,9 |
13,27 |
3,83 |
11 |
68 |
60,13 |
6,35 |
1,52 |
12 |
48 |
57,36 |
-13,8 |
4,44 |
13 |
52 |
54,59 |
-5,81 |
3,22 |
14 |
60 |
51,82 |
13,27 |
-5,09 |
15 |
50 |
49,05 |
6,35 |
-5,4 |
16 |
30 |
46,28 |
-13,8 |
-2,48 |
Сумма тенденции и циклической компонент, являющихся моделью данного ВР, используется для прогноза его будущих значений.
Рис. 14.1. Компоненты ВР табл.14.1
Среднее значение, сглаженного по методу SMA ВР получается всегда меньше среднего значения исходного, что является одним из недостатков этого метода. В ряде случаев, когда хотят придать большее значение уровням ряда вблизи центра сглаживания, используют т.н. взвешенное среднее (Weighted Moving Average-WMA), при подсчете которого каждое слагаемое умножается на определенный коэффициент. Примером пятичленной формулы WMA является
Такого рода формул известно достаточно много. Характерной их особенностью является равенство коэффициентов при симметричных относительно центра сглаживания уровнях ряда, а так же то, что чем дальше от центра находится учитываемый уровень ряда, тем меньше по абсолютной величине коэффициент при нем.