13. Методы выделения тенденции временного ряда. Кривые роста.
В основе этих методов лежит процедура сглаживания, т.е. уменьшения случайной составляющей. Метод кривых роста подразумевает, что известен вид аналитической зависимости для тенденции на всем интервале наблюдения ВР и тогда сформулированная задача сводится к нахождению параметров этой зависимости по данным наблюдения. Обычно для этого используется МНК и тогда это фактически уже знакомая задача построения регрессионной модели, с то лишь разницей, что в качестве факторов выступают временные интервалы и некоторые функции от него. Так довольно часто, в качестве кривых роста используются полиномы р-ой степени
Yt = b0 + b1t + b2t2 +...+bptp
Применяя матричные обозначения (7.4) для случая регулярных периодичных наблюдений за ВР в моменты t, 2t, 3t..., искомый вектор находится из (7.5), где
,
В это ситуации факторы являются неслучайными величинами, но в процедуре нахождения параметров модели от этого ничего не меняется. При использовании широко распространенных пакетов компьютерных программ Excel, Mathcad и т.п. эти вычисления особого труда не представляют, причем большая часть времени уходит на ввод исходных данных, а не на само решение.
Кроме полиномов, в качестве кривых роста, находят применение другие нелинейные функции, но полиномы, вследствие своей универсальности, более популярны. Правильность подбора моделирующей тенденцию функции оценивается по нескольким критериям: минимум ОСК, непротиворечивость модели экономическому смыслу показателя, ошибка ε – нормально распределенная СВ с нулевым математическим ожиданием и ряд других.
Прогноз значений ВР без циклической компоненты основан на экстраполяции подобранной для тенденции функциональной зависимости. Оценку погрешности модели Y и фактического значения ВР дают формулы, полученные в разделе 4, которые, с учетом введенных обозначений, имеют вид
,
Тогда границы интервала для прогнозируемого на l шагов вперед уровня ВР, в соответствии с результатами раздела 4, будут
где tn-2(α) – табличное значение критерия Стьюдента.
Значение
также
можно протабулировать, причем для
полиномов и более высокой степени, чем
первая. Часть такой таблицы для полиномов
1-го и 2-го порядков приведена ниже.
Табл. 13.1. Значения K* для α = 0,01
-
Длина
pяда, n
p = 1
p = 2
l =1
l =2
l =3
l =1
l = 2
l =3
7
2,64
2,87
3,14
3,95
5,76
8,15
8
2,46
2,64
2,84
3,46
4,75
6,46
:
:
:
:
:
:
:
15
2,02
2,06
2,11
2,39
2,7
3,1
:
:
:
:
:
:
:
25
1,85
1,87
1,89
2,05
2,16
2,28
Из нее видно, что рост объема выборки n повышает точность прогноза, а увеличение l – снижает. Увеличение порядка полинома при неизменных n, l отрицательно сказывается на точности прогноза, хотя сама модель с полиномом 2-го порядка по точности никак не может быть хуже модели с полиномом 1-го порядка. Из последнего следует, что, повышая точность модели, мы почти всегда проигрываем в точности прогноза и наоборот. Этот же вывод можно сделать из выражения для ПОСК
Чем больше степень аппроксимирующего полинома р, тем больше ПОСК и, соответственно, меньше точность прогноза.
Другие методы сглаживания будут рассмотрены в следующем разделе.