1. Основные задачи эконометрики

Эконометрика (ЭКМ) занимается установлением и исследованием методами математической статистики взаимосвязей между экономическими показателями, а также закономерностей их изменения во времени.

Допустим, вы срочно хотите продать квартиру и желаете сделать это самостоятельно, не прибегая к услугам посредников. Основной вопрос при этом – цена. Для его решения можно купить специализированную газету и ознакомиться с некоторым множеством объявлений с параметрами и ценами продаваемых квартир. Очевидно, что цена квартиры y определяется целым рядом факторов – площадью, состоянием, типом дома, этажом, районом города и т.д. Обозначим эти переменные как векторную величину x = {x₁, x₂,...x_m}^т. Тогда цена квартиры есть некоторая функция от этих факторов Y(x) плюс некоторая случайная величина (СВ) ε, обусловленная неучтенными факторами, что можно записать в виде

(1.1)

Методы ЭКМ позволяют путем обработки информации, содержащейся во множестве объявлений о продаже, построить так называемую регрессионную модель для данной задачи, например, в виде

(1.2)

и определить неизвестные коэффициенты b_i, i = 0,1...m так, чтобы назначенная цена Y квартиры с конкретными значениями факторов x₁, x₂,...x_m была оптимальной в определенном смысле. В данном случае использована линейная модель, но суть задачи не изменится, если в правой части (1.2) будет стоять нелинейная функция.

На рис. 1 приведен график, иллюстрирующий одно из важных понятий ЭКМ – временного ряда.

Рис. 1.1 Поквартальная прибыль туристической компании за первые 4 года.

Визуально просматриваются циклическая (сезонная) и монотонно убывающая составляющие, выделение которых является одной из задач анализа временных рядов (ВР). Среди других задача анализа ВР стоит отметить прогноз значений ВР. Наиболее актуально это для курсов валют и акций. Существует понятие технического анализа ВР, задачей которого и является выработка сигналов на покупку или продажу ценных бумаг на основании результатов обработки уровней ВР за некоторый период. В совокупности с результатами т.н. фундаментального анализа технический анализ позволяет сформировать оптимальный инвестиционный портфель.

Упомянутый фундаментальный анализ немыслим без моделей экономических процессов, выявляющих связь различных экономических показателей. При построении такого рода моделей неизбежно встает задача оценки параметров этих моделей. Специфика такой оценки в сравнении с рассмотренной выше регрессионной моделью состоит именно во взаимосвязи переменных, что требует специальных методов их получения.

2. Линейная парная регрессия

Рассмотрим в качестве примера данные по затратам на производство автомобильных шин в зависимости от объема производства за день по 7 предприятиям, представленным в первых трех колонках таблицы 2.1.

Таблица 2.1.

№ предприятия.	Выпуск продукции, тыс.шт.(х)	Затраты, млн. руб. (у)	ух	х2	у2	Y
1	1	30	30	1	900	31,05
2	2	70	140	4	4900	67,89
3	4	140	560	16	19600	141,6
4	3	110	330	9	12100	104,7
5	5	170	850	25	28900	178,4
6	3	90	270	9	8100	104,7
7	4	160	640	16	25600	141,6
Итого	22	770	2820	80	100100	770

Предположим наличие приблизительно линейной зависимости между указанными величинами и построим уравнение линейной регрессии

(2.1)

Найдем неизвестные коэффициенты b0, b1, исходя из минимума т.н. остаточной суммы квадратов

(2.2)

Из матанализа известно, что для этого необходимо взять частные производные по этим параметрам от функции (2.2), приравнять их нулю и решить полученную систему уравнений. Очевидно, что

(2.3)

Система алгебраических уравнений (2.3), из которой необходимо найти коэффициенты b0, b1, называется нормальной, а способ ее получения – методом наименьших квадратов (МНК). Величина n для рассмотренного выше примера равна 7, т.е. числу имеющихся эмпирических пар {x_k, y_k}, а сама система (2.3) приобретает вид

Решая ее тем или иным способом, получаем b0 = −5,79; b1 = 36,84 и уравнение регрессии (2.1) в виде

На графике рисунка 2.1 это уравнение представлено прямой линией, а значения y_k – в виде точек.

Разделив обе части системы (2.3) на n, получим

(2.4),

где символом  обозначено выборочное среднее, т.е.

Решая систему (2.4) относительно b1, получим

, (2.5)

где -выборочная ковариация,

- выборочная дисперсия случайной величины х, характеризующая меру разброса СВ вокруг ее среднего значения (математического ожидания).

Рис.2.1. Линейная парная регрессия

Ковариация характеризует степень зависимости между двумя СВ. Чем больше ее величина тем сильнее связь, однако неопределенность диапазона возможных значений, обусловленная выбранной размерностью СВ делает этот показатель не очень удобным для применения. Большее распространение в качестве оценки степени связи между двумя СВ получил выборочный коэффициент корреляции

, (2.6)

где s – выборочное среднее квадратическое отклонение (СКО) соответствующей СВ.

Эта величина обладает следующими свойствами:

1. -1 ≤ r ≤ 1, причем чем ближе значение модуля r к 1, тем теснее связь;

2. при r = ±1 зависимость между СВ носит строго линейный характер;

3. r = 0, в большинстве случаев означает отсутствие связи между СВ. Для рассмотренного примера

,

т.е. довольно близок к 1. Это говорит о тесной связи между объемом выпускаемой продукции и затратами на это, что, впрочем, хорошо видно и из графика рисунка 2.1.