1.7. Элементы теории погрешностей
Измерение физических величин с помощью технических средств, производится с целью установления зависимостей между определенными процессами, явлениями и количественными показателями.
При измерениях и вычислениях необходимо выполнять определенные требования: максимальное внимание при снятии результатов и вычислении; использование более точной и чувствительной измерительной аппаратуры; умение пользоваться ею. Однако, в различных условиях эксперимента всегда допускаются определенные ошибки (погрешности). В результате чего, конечные результаты измерения (или вычисления) всегда отличаются друг от друга, даже при полностью идентичных условиях эксперимента и тщательности его проведения. Существует специальный раздел математики, называемый теория ошибок (или теория погрешностей), который исследует причины появления погрешностей, методы их устранения и если последнее не возможно, то способы их учета при обработке результатов измерения.
Исходя из этой теории, все погрешности измерений по причинам их возникновения подразделяются на три вида: грубые, систематические и случайные.
Грубые погрешности возникают в результате небрежности отсветов при измерении, неразборчивости записи показаний, ошибок при вычислениях и округлении полученного результата, неисправности средств измерения. Грубые погрешности выявляются по резкому отличию от остальных измерений или табличных. Такие погрешности следует устранить – при малом количестве измерений необходимо проверить правильность отсчетов и вычислений (или повторить эксперимент), при большом количестве измерений (более 30) результаты, где была допущена грубая погрешность, можно просто, исключить из ряда других измерений и вычислений.
Систематические погрешности связаны с приборной погрешностью, со степенью точности аналитических выражений и при применении приборов вне сферы их нормированного использования. Например, недостаточно высокая точность градуировки приборов, недостаточно высокая чувствительность или разрешающая способность дают вклад в систематическую погрешность.
Вклад в систематическую погрешность может также дать воздействие не учитываемых внешних факторов. Так, при определении на рычажных весах массы тела, как правило, не учитывается выталкивающая сила воздуха, действующая на взвешиваемое тело и разновесы, т.е. предполагается, что mтела = m грузов. В действительности объемы тела и разновесов различны, следовательно, на них действуют различные выталкивающие силы и равновесие достигается при mтела ≠ m грузов.
Погрешность, вносимая при каждом отдельном измерении (приборная погрешность Δ пр) связана с точностью прибора, которая либо задается классом точности прибора, либо указана в паспорте, прилагаемом к прибору. В случае, если точность прибора не задана, то за погрешность Δ пр принимают 0,5 цены наименьшего деления. Систематические погрешности выявляются сравнением полученных измерений с контрольными измерениями с известными числовыми данными или при сравнении с табличными значениями.
Полностью устранить систематические погрешности нельзя, их можно только уменьшить, используя другой метод измерений, вводя поправки к показаниям приборов, учитывая систематическое влияние внешних факторов, используя для расчета более точные аналитические выражения.
Случайные погрешности возникают из-за влияния различных причин, заранее неизвестных и действующих при каждом отдельном измерении различным образом. Причинами случайных погрешностей могут быть: несовершенства наших органов чувств, влияние внешних условий (непостоянство температуры, давления и т.д.), колебания здания, в котором производятся измерения, колебания воздуха, колебания напряжения электрической сети и многое другое.
Случайные погрешности могут изменять результаты измерений в обе стороны - то, увеличивая, то, уменьшая их.
Также как и систематические погрешности, исключить случайные ошибки невозможно, поэтому их учитывают специальными величинами (параметрами): истинное значение измеряемой величины, абсолютная погрешность и относительная погрешность измерения.
Истинным значением измеряемой величины называется среднее арифметическое многих измерений или табличное.
Обозначается истинное значение измеряемой величины символом х ист.
Абсолютной погрешностью измерения называется отклонение результатов измерения от его истинного значения и определяется как абсолютная величина разности между истинным и измеренным значением хi. Абсолютную погрешность измерений обозначают Δ:
Δ х изм = | хист - хi | (1.9)
Результирующая абсолютная погрешность измерений зависит от случайной и приборной погрешности и определяется по формуле:
Δ
х =
.
(1.10)
Относительной погрешностью измерения называют отношение результирующей абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:
.
(1.11)
Относительная погрешность измеряется либо в долях целого числа (формула 1.11) либо в % (формула 1.12):
.
(1.12)
Относительная погрешность определяет точность проведенных измерений однородных величин. В точных физических измерениях ε ≤ 3 %, в биологических исследованиях допускается ε ≤ 5 %.
Поскольку, как уже говорилось выше, случайные погрешности могут изменять результаты измерений в обе стороны, конечный результат исследований должен быть записан в следующем виде:
х = (х ист ±Δ х) ед. изм. (1.13)
Интервал от (х ист – Δх) до (х ист +Δ х) определяет промежуток значений измеряемой величины, внутри которого с достаточной степенью надежности (вероятности) находится истинное значение этой величины. Данный интервал называется доверительным интервалом.
Все измерения по методике обработки результатов можно разделить на две группы:
Прямые измерения;
Косвенные измерения.
При прямых измерениях искомая величина измеряется непосредственно с помощью прибора. К этим измерениям относятся измерение длины линейкой, штангенциркулем, микрометром; измерение масс тел на рычажных весах; промежутков времени секундомером; силы электрического тока амперметром и т.д. Но иногда (по тем или иным причинам) непосредственно физическую величину измерить нельзя или, что бывает чаще, непосредственное измерение не обеспечивает необходимой точности. В этих случаях ее вычисляют по известным аналитическим соотношениям (формулам) через другие величины, которые находятся по результатам прямых измерений. Такие измерения называются косвенными. Например, плотность кого-либо кубического тела вычисляется при помощи определяемых прямыми измерениями массы и объема этого тела: р = m/V .