Министерство образования и науки РФ

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Северский технологический институт

(СТИ НИЯУ МИФИ)

Утверждаю

Зав. кафедрой ЭПА

доцент _________А.А.Филипас

«___»_________________2010 г.

Б.М.Кербель, И.Г. Попова

Погрешности косвенных измерений

Методические указания

Северск 2010

УДК 006.91

ББК

П 58

Кербель Б.М. Погрешности косвенных измерений: методические указания / Б.М.Кербель, И.Г.Попова – Северск: Изд-во СТИ, 2010.– 13 с.

Представлено описание методики обработки результатов косвенных измерений.

Методические указания подготовлены на кафедре «Электропривод и автоматика» Северского технологического института и предназначены для студентов технических специальностей всех форм обучения, изучающих дисциплину "Метрология, стандартизация и сертификация".

Методические указания одобрены на заседании кафедры ЭПА СТИ НИЯУ МИФИ (протокол №__ от _______________ 2010 г.).

Рег. № ____от « __» _______ 2010 г.

Рецензент

Редактор Р.В.Фирсова

Подписано к печати_______ Формат 60х84/32

Гарнитура Times New Roman. Бумага писчая №2

Плоская печать. Усл. печ. л. 0.64 Уч. изд. л. 1.16

Тираж 50 экз. Заказ _____

Отпечатано в ИПО СТИ

636036. Томская обл., г.Северск,

пр. Коммунистический, 65

Содержание

1 Цель работы 4

2 Теоретические сведения 4

3 Условия задачи 7

4 Порядок работы 7

5 Методические указания по выполнению работы 8

6 Примеры решения задач 9

7 Контрольные вопросы 10

Литература 10

Приложение А (обязательное). Варианты заданий 11

Приложение Б (справочное). Значения коэффициентов Стьюдента 13

1 Цель работы

Целью данной работы является приобретение практических навыков обработки результатов косвенных измерений.

2 Теоретические сведения

Ранее рассматривались погрешности прямых измерений, когда физиче­ская величина (например, сопротивление) измерялась непосредственно. Часто интересующая нас величина z непосредственно не измеряется и вместо неё производят измерения некоторых других величин х, у и т.д., а затем вычисляют z, которая является известной функцией указан­ных первичных величин

. (1)

Такой способ измерения z называется косвенным. Например, измерив длины a и b сторон прямоугольника, можно определить его площадь S = a b или периметр р=2(a+b). Если исходные переменные измерены несколько раз, то в (1) подставляют их средние значения ,... и получают .

При проведении косвенных измерений погрешность определяется по результатам прямых измерений. В общем случае решение этой задачи оказывается весьма сложным. Однако есть несколько случаев, когда оценить пределы погрешности результата косвенного измерения просто:

1) пусть z = f(x), т.е. z является функцией одной переменной. Если результат прямого измерения составляет х= х_изм± ∆х, то z = f(x_изм), а погрешность косвенного

∆z = f(x_изм + ∆х)-f(x_изм). (2)

Например, измерив сторону квадрата х = 100 ± 1мм, определим его площадь

S = х² = 10⁴ мм²

и погрешность

∆S = (х_изм + ∆х)² - х²_изм = 101² - 100² = 200 мм².

Результат измерения S = 10000 ± 200 мм².

Обычно погрешность ∆х мала и формулу (2) можно записать через производную функции f(x), взятую в точке х = х_изм., как показано на рисунке 1а):

. (3)

Для площади квадрата получим ∆S = 2 x ∆x=200 мм². Величина ∆S представляет собой площадь заштрихованной полосы длиной 2х и шириной ∆х, что показано на рисунке 1б).

Рисунок 1

2) величины x и y измерены с абсолютными погрешностями Δx и Δy, соответственно измеряется величина z, связанная зависимостью z = x ± y. Предположим, что величины х и у неза­висимы, т.е. результат измерения у не зависит от результата измерения х. В этом случае для оценки предела абсолютной погрешности составляющие погрешности суммируются без учета знака, а именно: Δz = Δx + Δy.

Имеет место также случай, когда складываются не сами средние квадратические погрешности, а их квадраты (дисперсии):

(∆z)² = (∆х)² + (∆y)² , ∆z = . (4)

В этом случае погрешность, вычисленная по (4), меньше, чем ∆х+∆у. Правило сложения (4) можно пояснить следующим образом: когда погрешность ∆х положительна, погрешность ∆у может быть как положительной, так и отрицательной, т.е. есть опасность занизить ожидаемую погрешность.

Если z является суммой или разностью нескольких независимых ве­личин x₁,x₂,….,х_п, то правило сложения погрешностей будет аналогич­но (4), т.е.

∆z = , (5)

Из (5) следует важный вывод о роли каждой из погрешностей в общей погрешности результата.

Пусть z = х₁ + х₂ — сумма двух ве­личин, определённых с погрешностями ∆х₁= 3 и ∆х₂ = 1. Тогда ∆z = =3,16 = 1,05∆x₁. Иначе говоря, если одна из погрешно­стей в 3 раза меньше другой, то общая погрешность возрастает за счёт этой меньшей погрешности всего на 5 %, что обычно играет малую роль. Этот вывод почти не изменится, если малых погрешностей не одна, а несколько, например,

∆z = = 3,6 = 1,2 ∆x₁.

Это означает, что если мы хотим повысить точность измерения величины ∆z, то необходимо в первую очередь стремиться уменьшить ту погрешность, которая больше. В нашем примере это погрешность величины х₁;

3) величины x и y измерены с абсолютными погрешностями Δx и Δy, соответственно измеряется величина z, связанная зависимостями z = x · y или z = x/y В этом случае для оценки предела относительной погрешности составляющие относительные погрешности суммируются без учета знака Δz, Δx, Δy а именно:

;

4) величины x и y измерены с абсолютными погрешностями Δx и Δy, соответственно. Измеряется величина z, связанная c x и y зависимостью z=F(x, y). В этом случае для оценки предела абсолютной погрешности можно использовать выражение:

.

Приведём общее выражение для вычисления погрешности косвен­ного измерения. Пусть z = f(x,y,...) — функция нескольких независи­мых переменных х, у,... . Тогда

∆z = , (6)

где - производная по переменной х, взятая в точке х = х_изм; — производная по переменной у, взятая в точке у = у_изм (и так по всем переменным);

- составляющая погрешности измерения z, обусловленная по­грешностью измерения х. Аналогичный смысл имеют и другие слагаемые в (6).

Использование этих правил позволяет получить удовлетворительную оценку предельной погрешности результата косвенного измерения, в случае когда число аргументов в функциональной зависимости не превышает четырех-пяти.

Легко видеть, что предыдущие формулы для погрешностей следуют из последнего, более общего, соотношения. Формулы, полученные из (6) для некоторых частных случаев, при­ведены в таблице 1.

Таблица 1 - Вычисление косвенных погрешностей

Функция	Соотношения между погрешностями
z = х ± у	∆z =
z = ху, z =
z = ln х	∆z =
z = ех	= ∆x

В случае косвенных измерений при вычислении результирующей систематической составляющей погрешности необходимо, казалось бы, учитывать знак отдельных составляющих, что противоречит приведенным в пп.1-3 рекомендациям. Однако на практике никакого противоречия не возникает, поскольку измерения всегда стремятся организовать так, чтобы влияние систематических погрешностей на результат было исключено. Конечно, полностью исключить систематические погрешности никогда не удается, но в теории измерений показывается, что для учета неисключенных остатков систематических погрешностей их можно рассматривать как случайные величины, для описания которых подходят методы математической статистики.

Отметим, что приведенные в пп.1-3 способы оценки предельной погрешности косвенных измерений могут дают завышенную оценку значения результирующей погрешности. Однако с точки зрения достоверности результата измерения и с учетом простоты описанного способа такой подход оказывается, как правило, вполне приемлемым.