Пример первого задания контрольной работы.

Задание: Доказать тождество задачи .

Решение: Построим диаграммы Эйлера-Венна для обеих частей равенства, чтобы удостовериться, что оно действительно имеет место быть.

На рисунке 1 представлены соответствующие диаграммы, показывающие верность равенства. Однако диаграмма не может служить доказательством, это лишь иллюстрация. Проведем доказательство тождества.

Пусть элемент x принадлежит первому множеству x∈A∖(B∖C). Тогда, согласно определению, он принадлежит множеству A и в то же время не принадлежит разности множеств B и C. x∈A и x∉B∖C.

Е

Рисунок 1. Диаграмма Эйлера-Венна

сли x∉B∖C, значит он должен лежать либо в дополнении к множеству B (вне множества B), либо внутри множества C (см. рисунок 2).

Т.е. .

Таким образом, элемент первого множества принадлежит A, и в то же время он принадлежит либо дополнению к B, либо множеству C. То есть, элемент x либо принадлежит множеству A и дополнению к множеству B , либо одновременно множествам A и C, т.е. .

Т.е.

Таким образом,

Аналогично, если

Поскольку одновременно выполняется

и

,

можно сделать вывод, что

.

Во втором задании контрольной работы для студентов-заочников по дискретной математике и математической логике нужно построить минимальную сокращенную ДНФ с помощью карты Карно (по вариантам). Варианты второго задания контрольной работы приведены в таблице 2.

Таблица 2. Варианты второго задания контрольной работы

№ варианта	Содержание второго задания контрольной работы

Пример второго задания контрольной работы.

Задание: Построить минимальную сокращенную ДНФ с помощью карты Карно для .

Решение: В задании функции представлены в числовой форме (по наборам). Если перечисление номеров наборов предваряется знаком дизъюнкции, то на перечисленных наборах функция равна единице. Если знаком конъюнкции – нулю.

Таблица истинности заданной функции представлена в таблице 3.

Таблица 3. Таблица истинности логической функции

Номер набора	x	y	z	f(x,y,z)
0	0	0	0	1
1	0	0	1	1
2	0	1	0	1
3	0	1	1	0
4	1	0	0	1
5	1	0	1	1
6	1	1	0	1
7	1	1	1	0

Строим карту Карно для заданной функции. Для этого проставляем на карту значения функции (0 или 1) в соответствии с набором переменных. Например, на наборе x=1,y=0,z=1 функция равна единице. Проставляем 1 на карту в клетку как показано на рисунке 3(а).

На наборе x=0,y=1,z=1 функция равна нулю. Проставляем 0 на карту в клетку как показано на рисунке 3(б).

И так далее, для всех наборов. В итоге получаем карту, представленную на рисунке 3(в).

Далее необходимо сгруппировать лежащие рядом единицы в количестве степени двойки: 2, 4, 8 и т.д. Отдавать предпочтение следует наибольшим по количеству единиц группам. Единицы, уже вошедшие в группу можно объединять с другими единицами другой группы, что показано на рисунке 3 (г).

а)
б)
в)
г)

Рисунок 2. Карты Карно

После группировки необходимо записать в форме ДНФ «адреса» всех получившихся групп и не вошедших в группы единицы.

Карте, представленной на рисунке соответствует сокращенная ДНФ:

.

Для проверки ответа необходимо построить таблицу истинности найденной сокращенной ДНФ. Если она совпадает с таблицей, которой задавалась функция f, можно писать ответ

.

В третьем задании контрольной работы для студентов-заочников по дискретной математике и математической логике нужно решить комбинаторную задачу (по вариантам). Варианты третьего задания контрольной работы приведены в таблице 3.

Таблица 4. Варианты третьего задания контрольной работы

	В течение десяти недель студенты сдают 10 экзаменов, в том числе два по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены по неделям так, чтобы экзамены по математике не следовали один за другим?
	В приемной у зубного врача ожидают своей очереди две женщины и 10 мужчин. Для них имеется 8 экземпляров последнего номера журнала и 4 экземпляра утренней газеты. Сколькими способами могут они распределить газеты и журналы между собой, если обе женщины непременно хотят читать одно и то же?
	Концерт состоит их трех песен и двух скрипичных пьес. Сколькими способами можно составить программу концерта так, чтобы он начинался и оканчивался исполнением песни, и чтобы скрипичные пьесы не исполнялись одна за другой?
	Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение десяти дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?
	Сколькими способами можно расположить в один ряд 5 красных, 4 черных и 5 белых мячей так, чтобы мячи, лежащие на краях, были одного цвета?
	В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколько всего есть способов заказать 4 пирожных?
	Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?
	Сколько существует различных четырехзначных чисел, в чьей десятичной записи могут присутствовать цифры 0, 1, 2, 3, 6, причем 0 на первом месте стоять не может? Сколько среди них четных чисел (цифру 0 считать четной)?
	В соревнованиях по баскетболу команды A и B играют между собой несколько игр до тех пор, пока одна из команд не выиграет четыре игры. Составляется последовательность наименований команд, выигравших игры; например, последовательность ABABBB означает, что первую и третью игры выиграла команда A, остальные – команда B. Сколько таких последовательностей можно составить?
	Группа из 41 студента успешно сдала сессию из трех экзаменов. Возможные оценки: 5, 4, 3. Доказать, что, по крайней мере, пять студентов сдали сессию с одинаковыми оценками.