9.2.2. Метод моментов
Метод предложен К. Пирсоном в 1894 г. Метод моментов основан на том, что начальные и центральные эмпирические моменты являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретических моментов, поэтому можно приравнять теоретические моменты соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.
Алгоритм метода:
выбирается столько эмпирических моментов, сколько требуется оценить неизвестных параметров распределения;
вычисленные по ЭД оценки моментов приравниваются к теоретическим моментам;
параметры распределения определяются через моменты, и составляются уравнения, выражающие зависимость параметров от моментов, в результате получается система уравнений. Решение этой системы дает оценки параметров распределения генеральной совокупности.
Например, если известный вид плотности распределения f(x, θ1, θ2) определяется двумя неизвестными параметрами θ1 и θ2, то требуется составить два уравнения, например
,
.
Отсюда
система двух уравнений с двумя неизвестными θ1 и θ2. Ее решениями будут точечные оценки 1 и 2 – функции вариант выборки:
1= y1(х1, х2, …, хп),
2= y2(х1, х2, …, хп).
Пример. Имеется выборка значений случайной величины Х – числа появлений события А в пяти испытаниях, распределенной по биномиальному закону. В таблице приведено число появлений А в 20 сериях по 5 испытаний в каждой:
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
пi |
2 |
6 |
5 |
4 |
3 |
Методом моментов найти точечную оценку параметра р биномиального распределения.
Решение.
Воспользуйтесь тем, что математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равно nр, и приравняйте его выборочному среднему.
Объем выборки N = 20, количество опытов в одной серии п =5.
.
Так
как
и
,
то
.
Пример. Предположим, что случайная величина Х имеет гамма-распределение.
По выборке значений найдены фактические значения оценок математического ожидания и дисперсии: =27,51, s2 = 0,91.
Необходимо найти оценки параметров этого распределения (можно отметить, что нормальное распределение является частным случаем гамма-распределения).
Решение.
Функция плотности гамма-распределения имеет вид
Распределение
, поэтому следует выразить один параметр
и характеризуется
двумя параметрами через оценку
математического ожидания, а другой –
через оценку дисперсии. Математическое
ожидание и дисперсия этого распределения
равны
и
соответственно. Тогда получим систему
уравнений для оцениваемых параметров
Разделив оценку математического ожидания на оценку дисперсии, получим
.
Метод моментов позволяет получить состоятельные, достаточные оценки, они при довольно общих условиях распределены асимптотически нормально. Смещение удается устранить введением поправок. Эффективность оценок невысокая, т.е. даже при больших объемах выборок дисперсия оценок относительно велика (за исключением нормального распределения, для которого метод моментов дает эффективные оценки). В реализации метод моментов проще метода максимального правдоподобия. Напомним, что метод целесообразно применять для оценки не более чем четырех параметров, так как точность выборочных моментов резко падает с увеличением их порядка.