8.2. Показатели вариации как характеристики рассеяния

Средние величины не отражают изменчивости значений признака. Для оценки меры неоднородности (разброса, изменчивости) выборки наряду со средними значениями вычисляют и характеристики рассеяния.

Вариацией какого-либо параметра (показателя) в совокупности наблюдений называется различие его значений у разных элементов этой совокупности. Именно это свойство является объектом исследования большинства методов обработки ЭД.

Вариационный размах – это разность максимального и минимального значений статистического ряда: R= x_max –x_min.

Наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средних величин.

Средним линейным отклонением статистического ряда называется средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней:

Выборочной дисперсией s² статистического ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:

или .

Для несгруппированного ряда (n_i=1): .

Среднее квадратическое отклонение (стандартным отклонением) s статистического ряда – арифметическое значение корня квадратного из выборочной дисперсии:

или .

Размерность стандартного отклонения в отличие от размерности дисперсии совпадает с единицами измерения варьирующего признака, поэтому в практической статистике для того, чтобы охарактеризовать рассеяние признака используют обычно стандартное отклонение, а не дисперсию.

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной равна нулю: .

2. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одну и туже постоянную, то дисперсия не изменится: .

3. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число k раз, то дисперсия увеличивается (уменьшится) в k² раз: .

4. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической: .

5. Если ряд наблюдений состоит из нескольких групп, общая дисперсия равна сумме средней арифметической групповых дисперсий (внутригрупповая дисперсия) и межгрупповой дисперсии («правило сложения дисперсий»):

,

где – общая дисперсия (дисперсия всего ряда);

– средняя арифметическая групповых дисперсий (внутригрупповая дисперсия);

– дисперсия i –ой группы , объем которой равен n_i, - групповая средняя;

– межгрупповая дисперсия , где - общая средняя;

l- число групп.

Если требуется сопоставить стандартные отклонения со средними арифметическими этих признаков, то вводится относительный показатель, называемый коэффициентом вариации.

Коэффициент вариации – это процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации является относительной мерой рассеяния признака.

Коэффициент вариации используется и как показатель однородности выборочных наблюдений. Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10%, то выборку можно считать однородной, т.е. полученной из одной генеральной совокупности.

8.3. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии

Условными называют варианты, определяемые равенством

,

где с и h – специально подобранные числа:

• с –ложный нуль (новое начало отсчета; чаще всего это середина серединного интервала, если серединных интервалов два, то за с берут середину одного из этих интервалов),

• h – шаг, т.е разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба).

Упрощенный метод расчета характеристик выборки основан на замене первоначальных вариант на условные. Согласно свойствам средней арифметической и дисперсии

откуда

.