Если центр гомологии также является собственной точкой , а осью гомологии является несобственная прямая линия , то получим гомотетию (рисунок 5.15).

Рисунок 5.15 – Построение соответственных точек в гомотетии

Гомотетия задается своим центром и парой соответственных точек (например ). Для построения образа , соответствующему заданному отрезку , необходимо выполнить следующие построения: ; и ; . Таким образом, . Центр гомотетии является неподвижной точкой. Неподвижными прямыми (слабо инвариантными прямыми) гомотетии являются все прямые, проходящие через центр гомотетии (прямые на которых находятся соответственные точки и , и и т. д.).

Если в плоскости задать прямоугольную систему координат, а начало координат совместить с точкой , то аналитически это преобразование будет иметь следующее выражение:

или

. (5.1)

В этом выражении коэффициент называется коэффициентом гомотетии (см. п.п. 2.2.2.3).

Если , то образы и прообразы лежат по одну сторону от центра гомотетии, при – по разные стороны от него (обратная гомотетия).

Если , то все точки плоскости не подвижны (тождественное преобразование).

Если , то имеем частный случай гомотетии, который называется центральной симметрией; точка при этом называется центром симметрии. Если точка совпадает с началом координат (рисунок 5.16), то аналитическое выражение центральной симметрии будет иметь вид

. (5.2)

Рисунок 5.16 – Построение соответственных точек в центральной симметрии

Выполненные построения равносильны повороту точки на угол равный ( ); здесь . Центральная симметрия – инволюционное преобразование, так как, если в точку поместить точку , то ее образ совпадет с прообразом .

В рассмотренных трех случаях (гомология, элация, гомотетия, включая центральную симметрию) центр гомологии рассматривался как собственная точка. Теперь рассмотрим случаи, когда это точка будет несобственной ( ).

В соответствии с таблицей 5.1 при будем иметь перспективно-аффинное соответствие, или родство (рисунок 5.17).

Геометрический аппарат этого преобразования вполне определен, если будут заданы ось родства и пара соответственных точек, которые задают направление родства.

В общем случае это преобразование не инволюционно (см. рисунок 5.18), поскольку, если в точку, например (образ точки ) поместить точку , то ей соответственная точка не совпадет с прообразом (т.е. ).

Если , то родство будет инволюционным, в этом случае преобразование будет называться косой симметрией (рисунок 2.7).

Рисунок 5.17 – Построение соответственных треугольников

в перспективно-аффинном преобразовании

Рисунок 5.18 – Интерпретация неинволюционности родства

В случае если направление инволюционного родства, например , (косая симметрия) будет перпендикулярно оси , то такая симметрия называется осевой ортогональной симметрией (рисунок 2.8). Это обычная симметрия, или отражение, применяемая в метрической геометрии.

Если на плоскости в прямоугольной системе координат выполнить ортогональную симметрию относительно оси абсцисс, то аналитическое выражение этого преобразования будет иметь вид

или

. (5.3)

В этом выражении коэффициент преобразования .

От осевой симметрии можно перейти к рассмотрению вращения (или поворота), если представить его как произведение двух отражений. Как известно вращение, например точки , задается центром вращения и углом поворота (рисунок 5.19). В данном случае после поворота на угол точка перейдет в точку , но вместо поворота выполним последовательно два отражения ( ). Первое отражение относительно произвольной прямой . При этом точка , где , перейдет в точку , т.е. .

Рисунок 5.19 – Интерпретация вращения как выполнение

двух последовательных отражений

Зафиксируем угол . Тогда для получения точки «довернуть» точку на угол . Но мы выполним еще одно отражение ( ) точки относительно прямой , которая перпендикулярна отрезку . Таким образом, два последовательных отражения с осями и переводят точку в точку :

,

где

;

.