5 Построение проективного пространства

5.1 Система аксиом. Группы аксиом проективной геометрии

В первом разделе был рассмотрен теоретико-групповой подход к построению геометрии, в котором отмечено, что группа преобразований метрической (евклидовой) геометрии является подгруппой преобразований аффинной геометрии. Аффинная группа преобразований входит как подгруппа в проективную группу преобразований. Ниже рассматривается классический подход к построению геометрии, который основывается на классификации систем аксиом по Гильберту.

Логическое построение геометрии было выполнено еще Евклидом в третьем веке до нашей эры. Но открытие неевклидовой геометрии в XIX веке показало, что в системе аксиом Евклида имеются изъяны. Исследование аксиоматики евклидовой геометрии было завершено в конце XIX века Д. Гильбертом. Система аксиом Д. Гильберта состоит из пяти групп:

I – восьми аксиом принадлежности (соединения);

II – четырех аксиом порядка;

III – двух аксиом непрерывности;

IV – аксиомы о параллельных;

V – пяти аксиом конгруэнтности.

Эти аксиомы сформулированы относительно объектов трех видов – точек, прямых, плоскостей и трех видов отношений между ними, выражаемых словами «принадлежит», «между», «конгруэнтен».

Аксиомы принадлежности (группа I) определяют свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

– для любых двух точек , существует прямая , принадлежащая каждой из этих двух точек , ;

– для двух точек , существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из точек , ;

– на прямой существует, по крайней мере, две точки. Существуют, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой;

– для любых трех точек , , , не лежащих на одной и той же прямой, существует плоскость , принадлежащая каждой из трех точек , , . Для любой плоскости всегда существует принадлежащая ей точка;

– для любых трех точек , , , не лежащих на одной и той же прямой, существует не более одной плоскости, принадлежащей этим точкам;

– если две точки , прямой лежат в плоскости , то всякая точка прямой лежит в плоскости ;

– если две плоскости имеют общую точку , то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку ;

– существуют, по крайней мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Аксиомы порядка (группа II) выражают свойства взаимного расположения точек на прямой и плоскости, определяя термин «между».

– если точка лежит между точками и , то , , – различные точки и лежит также между точками и ;

– для любых двух точек и на прямой , существует, по крайней мере, одна точка такая, что точка лежит между точками и ;

– среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими;

– пусть , , – три точки, не лежащие на одной прямой, и – прямая в плоскости , не проходящая ни через одну из точек , , ; если при этом прямая проходит через одну из точек отрезка , то она должна пройти через одну из точек отрезка или через одну из точек отрезка (аксиома Паша).

Аксиомы непрерывности (группа III):

– пусть и – два каких-нибудь отрезка; тогда на прямой существует конечное число точек , таких, что отрезки , конгруэнтны отрезку и точка лежит между и (аксиома Архимеда);

– точки прямой образуют систему, которая при сохранении линейного порядка, первой аксиомы о конгруэнтности и аксиомы Архимеда не допускает никакого расширения, то есть к этой системе точек нельзя прибавить еще точки так, чтобы в системе, образованной первоначальными и добавленными точками, выполнялись все указанные аксиомы (аксиома линейной полноты).

Аксиома о параллельных (группа IV), параллельных прямых с евклидовой точки зрения, которая гласит: через точку, расположенную вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной ей.

Аксиомы конгруэнтности (группа V), определяют понятие равенства для отрезков и углов.

– если и суть различные точки на прямой и – точка на той же прямой или на другой прямой , то всегда можно найти точку , лежащую по данную от точки сторону прямой , и притом такую, что отрезок конгруэнтен, иначе говоря, равен отрезку ;

– если два отрезка конгруэнтны третьему, то они конгруэнтны друг другу;

– пусть и суть два отрезка прямой , не имеющие ни одной общей точки, и пусть, далее, и суть два отрезка той же прямой или другой прямой , также не имеющие общей точки; если при этом , , то и ;

– от данной полупрямой в данную полуплоскость, определяемую этой полупрямой и ее продолжением, можно отложить и притом только один угол, конгруэнтный данному углу;

– если у двух треугольников и , , и , то у них , .

В связи с аксиоматическим построением евклидовой геометрии возникают три естественных требования, предъявляемых к системам аксиом:

– непротиворечивость, набор аксиом должен быть логически не противоречивым, т.е. из них путем логических рассуждений не должны получаться два взаимно исключающих следствия;

– независимость, или неизбыточность, какие-либо аксиомы не должны выводится из остальных;

– полнота, система не должна допускать пополнения новыми аксиомами, не противоречащими уже принятым и не вытекающими из них.

Следует отметить, что группы аксиом I, II, III определяют аксиоматику проективной геометрии; группы аксиом I, II, III, IV определяют аксиоматику аффинной геометрии; все пять групп аксиом – метрическую, или элементарную (евклидову) геометрию.

5.2 Основные геометрические формы проективной геометрии

В проективной геометрии фигуры принято называть формами. Они бывают линейными, или основными, например прямая, плоскость, пространство, и нелинейными, например кривая линия, поверхность.

Эти формы можно рассматривать как некоторое множество точек. Поэтому принято называть линию рядом точек, плоскость – полем точек. В некоторых случаях плоскость и пространство рассматривают не как множество точек, а как множество прямых. Тогда они называются соответственно полем прямых, пространством прямых, или линейчатым пространством [5, c. 24; 11, c. 90].

Формы принято классифицировать по их размерности. Формы, состоящие из однопараметрического множества ( ) точек, прямых, плоскостей, называются формами 1-й ступени, из двухпараметрического множества ( ) – формами 2-й ступени и т. д. (однопараметрические многообразия, двупараметрические многообразия и т. д.).

Очевидно, две какие-либо формы, которые можно привести во взаимно однозначное соответствие, имеют равные размерности. Этим правилом пользуются для получения новых форм данной ступени путем проецирования простейших форм этой ступени.

К основным формам 1-й ступени (однопараметрические многообразия, или – однопараметрического множества точек) относятся:

– – прямолинейный ряд точек (рисунок 5.1), прямая называется носителем ряда точек;

– – пучок прямых (рисунок 5.2), т.е. совокупность прямых на плоскости, принадлежащих точке (носитель, или центр пучка);

– – пучок плоскостей (рисунок 5.3), т.е. совокупность плоскостей, принадлежащих данной прямой (носитель пучка, или ось пучка).

Рисунок 5.1 – Прямолинейный ряд точек

Рисунок 5.2 – Пучок прямых

Рисунок 5.3 – Пучок плоскостей

Прямая линия (числовая ось), или ряд точек содержит однопараметрическое множество точек, так как любая ее точка определяется заданием одной координаты. Остальные основные формы 1-й ступени получаются путем проецирования точек прямой: проецируя точки ряда из цента , получаем пучок прямых ; выполняя осевое проецирование плоскостями , проходящими через прямую , ряд отображаем на пучок плоскостей .

К основным формам 2-й ступени (двухпараметрические многообразия, или – двухпараметрического множества) относятся:

– плоское поле точек, т.е. совокупность точек, принадлежащих данной плоскости, которая называется носителем поля (каждая точка плоскости определяется двумя координатами);

– плоское поле прямых, т.е. совокупность прямых, принадлежащих данной плоскости, которая называется носителем поля; здесь для подсчета параметров (определения параметрического числа прямой, инцидентной плоскости) можно предложить два пути: во-первых, общее уравнение прямой

,

можно записать в виде

,

где , , отсюда два независимых коэффициента и определяют двухпараметрическое множество ( ) прямых плоскости; во-вторых, прямая однозначно определяется заданием двух ее точек (например , ), а каждая из них на плоскости имеет две степени свободы (определяется двумя параметрами), поэтому плоскость содержит

всевозможных пар точек, на прямой таких пар будет , тогда параметрическое число будет равно

.

К основным формам 2-й ступени также относятся:

– связка прямых, т.е. совокупность прямых пространства, принадлежащих точке , которая называется носителем, или центром связки; эту совокупность ( ) получаем проецируя точки плоскости из центра (рисунок 5.4);

– связка плоскостей, т.е. совокупность плоскостей пространства, принадлежащих точке , которая называется носителем, или центром связки; эту совокупность ( ) получаем, проецируя прямые плоскости из центра .

Рисунок 5.4 – Связка прямых

Основными формами 3-й ступени (трехпараметрические многообразия, или – трехпараметрического множества) являются:

– пространство точек, как совокупность всех точек проективного пространства, которое в данном случае играет роль носителя точек (точка в пространстве определяется заданием трех координат);

– пространство плоскостей, т.е. совокупность всех плоскостей проективного пространства, которое в данном случае является носителем плоскостей.

Для примера выполним расчет параметрического числа плоскости трехмерного пространства. Покажем также два приема подсчета параметров.

Первый прием. Параметрическое число плоскости, принадлежащей трехмерному пространству, равно числу независимых коэффициентов в общем уравнении плоскости:

.

В этом уравнении свободный член можно приравнять к единице, поделив на него все коэффициенты. Тогда остаются три независимых коэффициента, поэтому параметрическое число плоскости равно трем ( ).

Второй прием. Плоскость однозначно определяется заданием трех точек. Каждая из них имеет в пространстве три степени свободы ( ), а множество троек точек – девять степеней свободы, т.е. (это выражение будем записывать в числителе дроби). Для знаменателя этой дроби отметим, что каждая из этих точек, которые определяют плоскость, имеет две степени свободы, а множество троек точек – шесть степеней свободы ( ). Поэтому имеем,

.

Без комментария отметим, что параметрическое множество прямых в пространстве может быть подсчитано по формуле

,

т.е. это уже форма 4-й ступени.

5.3 Принцип двойственности

Следующая важная особенность, которую необходимо знать при изучении геометрии, – это проявление принципа двойственности, то есть когда в любом предложении, сформулированным относительно подпространств проективного пространства, перестановка местами пар подпространств равных размерностей не нарушает справедливости этого предложения.

Так для двумерного проективного пространства принцип двойственности гласит: любое предложение, сформулированное относительно точек и прямых проективной плоскости, остается справедливым, если в нем заменить слово «точка» словом «прямая», а слово «прямая» – словом «точка». Так, например, две известные аксиомы соединения (принадлежности) гласят:

– две различные точки принадлежат одной прямой;

– две различные прямые принадлежат одной точке.

Этот принцип для трехмерного пространства читается так: любое предложение, сформулированное относительно точек, прямых и плоскостей трехмерного проективного пространства, остается справедливым, если в нем заменить слово «точка» словом «плоскость», слово «плоскость» – словом «точка», а слово «прямая» прямая оставить без изменения.

Примером могут служить две другие аксиомы соединения (принадлежности):

– три различные точки, не принадлежащие одной прямой, принадлежат одной плоскости;

– три различные плоскости, не принадлежащие одной прямой, принадлежат одной точке.

Такие симметричные понятия, аксиомы и теоремы в проективной геометрии называются двойственными. При этом слово “принадлежит” нужно заменить словом “проходит” или воспользоваться словом – инцидентна.

На рисунке 5.5 показан принцип двойственности и для рассмотренных выше линейных образов (подпространств) 2-, 3-, 4-, 5-мерных проективных пространств с указанием их параметрических чисел. Стрелками показаны попарно линейные образы с равными параметрическими числами.

Рисунок 5.5 – Проявление принципа двойственности для параметрических чисел

основных геометрических форм [5, с. 26]

5.4 Построение проективного пространства и его особенности

Построение проективного пространства основано на дополнении евклидова пространства несобственными (бесконечно удаленными) элементами. При этом в основу изучения проективной геометрии положен метод центрального проецирования.

5.4.1 Геометрический аппарат моделирования пространства

В качестве геометрического аппарата построения проективного пространства положен метод центрального проецирования, обусловленный центром проецирования и плоскостью проекции (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6 – Геометрический аппарат построения

проективного пространства

В соответствии с рисунком 5.6 при центральном проецировании прямая получена как центральная проекция прямой , которой принадлежат точка , , . При этом , , , так как и . Здесь

Отметим два исключения:

а) в евклидовом пространстве существуют точки, которые не имеют центральных проекций. Например, точка : проецирующий луч параллелен плоскости , и поэтому, не пересекает плоскость . Таких точек, как много, они все инцидентны плоскости ( и ).

б) в плоскости есть точки, которые в пространстве не имеют оригиналов. Например, точка ; здесь точка является несобственной. На рисунке 5.6 .

5.4.2 Расширенное евклидово пространство

Для устранения отмеченных или указанных недостатков (см. два исключения а и б п. 5.4.1), евклидово пространство расширяют дополнением его несобственных элементов (бесконечно удаленными точками, прямыми, плоскостями). Такое пространство называется расширенным евклидовым пространством. Таким образом, оно получается дополнением:

– евклидовой прямой и одной несобственной точкой, т.е. имеем прямую и на ней несобственную точку :

;

– евклидовой плоскости , одной несобственной прямой :

– евклидова пространства одной несобственной плоскостью :

В расширенном евклидовом пространстве справедливы следующие аксиомы соединения (принадлежности):

– две прямые, принадлежащие одной плоскости, пересекаются в точке (собственной или несобственной);

– прямая и плоскость пересекаются в одной точке (собственной или несобственной);

– две плоскости пересекаются по прямой (собственной или несобственной).

Из этого следует следующее:

– в расширенном евклидовом пространстве все параллельные прямые имеют одну общую несобственную точку и образуют связку прямых с несобственным центром;

– все параллельные плоскости имеют одну общую несобственную прямую и образуют пучок плоскостей с несобственной осью.

Из этого правила дополнение евклидова пространства несобственными элементами, непосредственно следует способ задания их на чертеже. Говорят, что несобственные элементы задаются их собственными представителями:

– несобственная точка – прямой , т.е. ;

– несобственная прямая линия – плоскостью , т.е. .

Что касается несобственной плоскости, отметим, что она является геометрическим местом всех несобственных точек и прямых пространства.

Выполним завершающий шаг в абстрагировании. Будем считать, что в евклидовом пространстве все собственные и несобственные точки совершенно равноправны. Такое пространство называется проективным, а расширенное евклидово пространство является его моделью, т.е. эти пространства эквивалентны.

5.4.3 Отличия между евклидовым и проективным пространством

Рассмотрим некоторые особенности, отличающие проективное пространство от евклидова.

Дополнив евклидову прямую несобственными точками, мы ее сделали замкнутой линией, т.е. проективная прямая – это замкнутая линия.

Рассмотрим путем центрального проецирования взаимно однозначное соответствие между точками евклидовой прямой и некоторой замкнутой линией, например окружностью (рисунок 5.7).

Рисунок 5.7 – Особенности модели проективной прямой

На рисунке 5.7 центр проецирования . Тогда любая прямая (например, ), проходящая через точку будет пересекать окружность и прямую в соответственных точках ( и ).

Рассмотрим следующие особенности.

Первая особенность: произвольная точка разбивает евклидову прямую на две части, но точка не разбивает окружность на части.

Вторая особенность: на евклидовой прямой две ее точки и определяют единственный отрезок, а на окружности – два отрезка: отрезок , содержащий точку , и отрезок , содержащий несобственную точку . Т.е. на евклидовой прямой, двигаясь от точки к точки , нельзя не миновать точку , а на проективной прямой – вполне возможно: .

Третья особенность: три произвольные прямые делят евклидову плоскость на 7 частей (рисунок 5.8), а проективную плоскость на 4 части (рисунок 5.9).

Рисунок 5.8 – Три прямые евклидовой плоскости

Рисунок 5.9 – Три прямые проективной плоскости

Четвертая особенность: при центральном проецировании понятие «между» не сохранятся. На рисунке 5.10 точка прямой , расположенной между точками и , из центра проецируется на прямую в точку , которая уже не расположена между точками и .

Рисунок 5.10 – Взаимное расположение точек

Вместо термина «между» введен термин «разделенность пар точек», который имеет проективный смысл – это пятая особенность.

Пара разделят пару , это записывается как ( ), а пара не разделяет пару , т.е .

Разделенность пар точек инвариантна относительной операции центрального проецирования:

.

Разделенность пар точек ведет к разделению пар прямых, проецирующих эти пары точек:

.

В силу не инвариантности в проективной геометрии понятия «между» следует неинвариантность простого отношения трех точек:

Как будет показано далее, в проективной геометрии имеет место инвариантность четырех точек, и как следствие, четырех прямых пучка.