3 Аналитическая аффинная геометрия
3.1 Аффинные координаты
Декартова (прямоугольная) система осей координат не может быть применена в аффинной геометрии. Однако, если ее подвергнуть произвольному аффинному преобразованию, то можно заменить ее аффинной конструкцией.
На рисунке 3.1
показано задание декартовой системы
осей координат и положение точки
относительно
данной системы.
Рисунок 3.1 – Задание декартовой системы осей координат
Таким образом,
имеем точку
,
для которой
,
,
где
,
;
,
т.е.
,
,
т.е.
;
Здесь
–
единичный квадрат.
Произведем аффинное
преобразование плоскости вместе с
находящейся на ней системой
(рисунок 3.2).
Рисунок 3.2 – Аффинное преобразование координатной плоскости
На этом рисунке
–
единичный параллелограмм,
,
;
,
.
Прямым
и
соответствуют прямые
и
,
пересекающиеся под произвольным углом,
а прямым
и
– прямые
и
.
Координаты точки
не будут равны расстояниям точки
от прямых
и
,
но они будут равны отношениям
соответствующих отрезков. Таким образом,
получена точка
,
для которой координаты
и ,
являются аффинными координатами.
По характеристическому
свойству аффинных преобразований
(сохранение коллинеарности и простого
отношения трех точек прямой) координаты
точки
остаются равными
;
.
Поэтому, чтобы
иметь возможность однозначно находить
координаты для любой точки плоскости,
достаточно знать положение трех ее
точек –
,
которые в силу теории аффинных
преобразований могут быть произвольными,
но не лежащие на одной прямой.
Таким образом, с
помощью аффинного преобразования
декартовой системы получена новая
обобщенная аффинная система координат,
которая представляет обобщение
декартовой, так как в ней масштабы
и
по осям различны. Кроме того, единичный
квадрат
декартовой системы заменился единичным
параллелограммом
,
т. е. декартова система координат
представляет собой тот частный случай
аффинной системы, когда масштабы по
осям равны.
Всякое новое аффинное преобразование плоскости переводит аффинную систему координат в аффинную же.
Способ задания аффинной системы координат представлен рисунком 3.3, на котором показаны:
– координатный
репер
,
как три произвольные точки, не лежащие
на одной прямой;
– начало координат,
точка
;
– оси координат
и
.
Таким образом,
имеем оси координат вместе с заданными
на них единичными точками
и
,
т.е. аффинную систему координат.
Рисунок 3.3 – Способ задания аффинной системы координат
Аффинным координатам
точки
ставятся в соответствие два числа:
и
.
Итак, если имеем какую-то аффинную систему координат и выполняем аффинное преобразование, переводящее данную систему в новую аффинную систему координат, то координаты каждой точки в первоначальной системе совпадут с координатами образа этой точки в преобразованной системе. Отсюда следует, что уравнение любой линии в исходной системе координат совпадает с уравнением образа этой линии в преобразованной системе. Вообще всякая аналитическая формула, выражающая какое-нибудь аффинное свойство фигуры в прямоугольных декартовых координатах, будет выражать это же свойство и в обобщенной аффинной системе координат.
Еще один важный аспект: все системы аффинных координат эквивалентны между собой, т.е. в вопросах аффинной геометрии все аффинные системы координат являются равноправными.