2 Основные понятия аффинных преобразований

В первом разделе отмечено, что свойства фигур, инвариантных относительно аффинных преобразований, изучает аффинная геометрия.

Аффинные преобразования легче усвоить, если в первую очередь рассмотреть перспективно-аффинное соответствие двух плоскостей.

2.1 Перспективно-аффинное соответствие двух плоскостей

2.1.1 Основные положения

Рассмотрим две плоскости (рисунок 2.1), которые пересекаются по линии .

Рисунок 2.1 – Взаимно-однозначное соответствие двух плоскостей

Выбрав направление проецирования , спроецируем на . Таким образом, и . Точку можно рассматривать как проекцию точки на . Очевидно, справедливо и обратное рассмотрение: – есть проекция точки на плоскость .

Здесь мы получили взаимно однозначное соответствие: каждой точке одной плоскости соответствует единственная точка второй, и обратно.

Такое соответствие плоскостей и , установленное с помощью параллельной проекции, называется перспективно-аффинным, или родственным (от лат. Affinites – свойство, родство).

Можно взять множество точек-прообразов и получить однозначно множество их образов . Таким образом, параллельно проецируя плоскость на плоскость , производим перспективно-аффинное преобразование плоскости (поле точек ) на плоскость (поле точек ).

2.1.2 Свойства перспективно-аффинного соответствия плоскостей

Ниже приведены следующие свойства:

– линией пересечения двух плоскостей является двойная прямая – ось соответствия , или ось родства, она содержит множество двойных (неподвижных) точек, инцидентных обеим плоскостям и , в соответствии с рисунком 2.1, ;

– прямая линия одной плоскости соответствует прямой линии другой плоскости (рисунок 2.2) – это свойство называется коллинеарностью (прямолинейностью); отметим, что если точка , где прямая , то образ , где .

Рисунок 2.2 – Соответствие двух прямых и

Продолжим перечислять свойства перспективно-аффинного соответствия:

– в перспективно-аффинном соответствии простое отношение трех точек прямой одной плоскости всегда равно простому отношению на прямой трех соответственных точек другой плоскости ; выражение простого отношения трех точек на прямой имеет вид

,

где – основные (базисные) точки, – делящая точка, поэтому запишем:

, или , т.е. ,

следует отметить, что если точка расположена вне отрезка , то отрезки и одинаково направлены, тогда ; если точка расположена внутри отрезка (между точками и ), то ).

В разделе 1 отмечено, что в понятии «преобразование» область определения и область значения совмещены, поэтому после совмещения плоскостей и рисунок 2.2 примет вид рисунка 2.3 (т.е. мы имеем преобразование плоскости в себя).

Рисунок 2.3 – Совмещение плоскостей и

Перечислим далее следующие свойства перспективно-аффинного соответствия (преобразования):

– перспективно-аффинное соответствие, или преобразование вполне определяется осью соответствия , или осью родства, и парой соответственных точек, например точками и (при задании точки , соответственная ей точка , определяется пронумерованным построением в соответствии с рисунком 2.4, на котором ).

Рисунок 2.4 – Построение соответственных точек и

К свойствам перспективно-аффинного соответствия также относятся следующие:

– параллельные прямые переходят в параллельные .

– отношение двух параллельных отрезков сохраняется:

,

тогда имеем

.

– Площади соответственных треугольников (плоских фигур) пропорциональны:

Особо отметим, что основным инвариантом перспективно-аффинного преобразования принимают простое отношение трех точек прямой и параллельность прямых .