Непосредственно из определения следует, что
– композиция
двух подобий с коэффициентами
и
есть подобие с коэффициентом
;
– преобразование,
обратное к подобию с коэффициентом
является подобием с коэффициентом
.
Если
обозначить подобие с коэффициентом
через
,
то эти утверждения можно записать в
виде:
,
.
(1.7)
Из этих соотношений следует:
– подобия плоскости образуют группу преобразований, которая называется группой подобий, или главной группой;
– подобия
с коэффициентом
является движением, следовательно,
группа движений является подгруппой
главной группы.
Здесь важно отметить следующее:
– любая
гомотетия с коэффициентом
(т.е.
)
является подобием с коэффициентом
;
– гомотетия с данным центром образует группу (подгруппу главной группы):
,
;
– подобие
с коэффициентом
является композицией движения (
)
и гомотетии с коэффициентом
(т.е.
):
.
(1.8)
– преобразование называется подобием 1-го рода или 2-го рода в зависимости от того, является ли движением 1-го или 2-го рода.
В заключении резюмируем:
– свойства преобразований подобия совпадают с общими свойствами движений и гомотетий;
– преобразование подобия сохраняет прямолинейность расположения точек и их порядок на прямой, переводит прямую в прямую, отрезок – в отрезок, луч – в луч, треугольник – в подобный ему треугольник, угол – в равный ему угол, параллельные прямые – в параллельные прямые.
1.4 Вопросы и упражнения к первому разделу
1 Современное определение геометрии.
2 Понятие отображения.
3 Отличие отображения на и отображения в.
4 Прямое и обратное отображение; понятие взаимно-однозначного отображения.
5 Примеры взаимно-однозначного и одно-многозначного отображения.
6 Понятие преобразования; основные положения (аспекты, свойства) преобразований.
7 Понятие инвариантной точки, инвариантной фигуры.
8 Отличие преобразований 1-го и 2-го рода.
9 Понятие тождественного преобразования.
10 Понятие инволюционного преобразования, привести пример.
11 Понятие произведения преобразований.
12 Основные группы преобразований и их инварианты.
13 Преобразования группы движений.
14 Понятие главной группы.
15 Перечислить и построить все движения, переводящие в себя следующие фигуры:
– ромб;
– квадрат;
– равносторонний треугольник;
– равнобедренный треугольник.