
- •Часть первая – основы аффинной геометрии
- •1 Отображения и преобразования
- •1.1 Современное определение геометрии
- •1.2 Понятия отображения и преобразования
- •1.2.3 Умножение преобразований
- •1.3 Группы и виды преобразований
- •Непосредственно из определения следует, что
- •1.4 Вопросы и упражнения к первому разделу
- •1 Современное определение геометрии.
1.2.3 Умножение преобразований
Часто в геометрических задачах приходится иметь дело не с одним преобразованием, а с последовательным выполнением двух и более преобразований. Результат последовательного выполнения преобразований называется произведением, или умножением, или композицией преобразований.
Сказанное можно представить в виде схемы (рисунок 1.9):
Рисунок 1.9 – Наглядное представление произведения преобразований
Здесь
представлено два преобразования
и
плоскости, выполненные последовательно.
Сначала выполняется преобразование
,
переводящее точку
(прообраз первого преобразования) в
точку
(образ первого преобразования) т.е.
,
затем – второе преобразование
,
переводящее точку
(прообраз второго преобразования) в
точку
(образ второго преобразования), т.е.
.
Результирующее
(сквозное) преобразование
,
переводящее
в
и есть произведение (умножение,
композиция) преобразований, т.е.
.
Оно записывается и так:
(преобразование, выполняемое первым,
пишут в произведении справа).
Более подробно запишем:
.
Рассмотрим несколько примеров преобразования плоскости, известных всем из элементарной геометрии [8].
Пример
1. Пусть на плоскости дана прямоугольная
система координат (рисунок 1.10) и точка
с координатами
и
,
т.е.
.
Выполним параллельный
перенос, или
трансляцию
плоскости
(преобразование
)
на вектор
,
который переводит всякую точку
плоскости в точку
.
Таким образом,
,
где
.
Уравнение данного преобразования имеет вид:
(1.1)
Будем пользоваться и такой записью:
.
(1.2)
Рисунок 1.10 – Трансляция, или параллельный перенос
плоскости на вектор
При
трансляция не имеет неподвижных точек.
Трансляция переводит всякую прямую
линию в параллельную ей прямую.
Пример
2. Пусть
,
– соответственно трансляции на векторы
,
,
т.е.
,
(рисунок 1.11). Тогда
будет трансляцией на вектор
,
т.е.
.
Рисунок 1.11 –
Композиция трансляций
Оказывается, последовательность выполнения трансляций не влияет на окончательный результат (рисунок 1.12), что можно проверить аналитически.
Таким
образом,
.
Такие преобразования называются
перестановочными, или коммутативными.
Рисунок 1.12 –
Композиция трансляций
Пример
3. Преобразование
,
переводящее каждую точку
плоскости в точку
,
симметричную ей относительно фиксированной
прямой
является
симметрией относительно этой прямой,
которая называется осью симметрии. В
частном случае, когда осью симметрии
служит одна из координатных осей,
например
(рисунок 1.13), закон преобразования будет
иметь вид:
(1.3)
или
.
(1.4)
Неподвижными точками осевой симметрии являются только те точки, которые принадлежат оси симметрии, неподвижными прямыми являются ось симметрии и любая прямая ей инцидентная (принадлежащая).
Рисунок 1.13 – Осевая симметрия
Пример
4. Найти произведение преобразований
и
,
где
и
соответственно осевая симметрия (1.4) и
трансляция (1.2).
Для первого случая имеем:
,
,
.
Аналогично для второго случая:
,
,
.
Данный пример показывает, что осевая симметрия и трансляция не коммутируют (произведения и различны). Поэтому в общем случае умножение преобразований не коммутативно.
Кроме коммутативности следует отметить, что умножение преобразований обладает свойством ассоциативности:
.
Преобразование обладает следующим свойством:
.
При рассмотрении обратного преобразования следует отметить, что
.