1.2.3 Умножение преобразований

Часто в геометрических задачах приходится иметь дело не с одним преобразованием, а с последовательным выполнением двух и более преобразований. Результат последовательного выполнения преобразований называется произведением, или умножением, или композицией преобразований.

Сказанное можно представить в виде схемы (рисунок 1.9):

Рисунок 1.9 – Наглядное представление произведения преобразований

Здесь представлено два преобразования и плоскости, выполненные последовательно. Сначала выполняется преобразование , переводящее точку (прообраз первого преобразования) в точку (образ первого преобразования) т.е. , затем – второе преобразование , переводящее точку (прообраз второго преобразования) в точку (образ второго преобразования), т.е. .

Результирующее (сквозное) преобразование , переводящее в и есть произведение (умножение, композиция) преобразований, т.е. . Оно записывается и так: (преобразование, выполняемое первым, пишут в произведении справа). Более подробно запишем:

.

Рассмотрим несколько примеров преобразования плоскости, известных всем из элементарной геометрии [8].

Пример 1. Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат (рисунок 1.10) и точка с координатами и , т.е. . Выполним параллельный перенос, или трансляцию плоскости (преобразование ) на вектор , который переводит всякую точку плоскости в точку . Таким образом, , где .

Уравнение данного преобразования имеет вид:

(1.1)

Будем пользоваться и такой записью:

. (1.2)

Рисунок 1.10 – Трансляция, или параллельный перенос

плоскости на вектор

При трансляция не имеет неподвижных точек. Трансляция переводит всякую прямую линию в параллельную ей прямую.

Пример 2. Пусть , – соответственно трансляции на векторы , , т.е. , (рисунок 1.11). Тогда будет трансляцией на вектор , т.е. .

Рисунок 1.11 – Композиция трансляций

Оказывается, последовательность выполнения трансляций не влияет на окончательный результат (рисунок 1.12), что можно проверить аналитически.

Таким образом, . Такие преобразования называются перестановочными, или коммутативными.

Рисунок 1.12 – Композиция трансляций

Пример 3. Преобразование , переводящее каждую точку плоскости в точку , симметричную ей относительно фиксированной прямой является симметрией относительно этой прямой, которая называется осью симметрии. В частном случае, когда осью симметрии служит одна из координатных осей, например (рисунок 1.13), закон преобразования будет иметь вид:

(1.3)

или

. (1.4)

Неподвижными точками осевой симметрии являются только те точки, которые принадлежат оси симметрии, неподвижными прямыми являются ось симметрии и любая прямая ей инцидентная (принадлежащая).

Рисунок 1.13 – Осевая симметрия

Пример 4. Найти произведение преобразований и , где и соответственно осевая симметрия (1.4) и трансляция (1.2).

Для первого случая имеем:

,

,

.

Аналогично для второго случая:

,

,

.

Данный пример показывает, что осевая симметрия и трансляция не коммутируют (произведения и различны). Поэтому в общем случае умножение преобразований не коммутативно.

Кроме коммутативности следует отметить, что умножение преобразований обладает свойством ассоциативности:

.

Преобразование обладает следующим свойством:

.

При рассмотрении обратного преобразования следует отметить, что

.