Задача 13

Посчитать 6-, 12- и 18-месячные ставки спот в полугодовом выражении (т.е. не в годовом) по данным трех облигаций со следующими данными:

Купон, % годовых	Погашение	Цена
8,25%	через 6 мес.	100-241
8,50%	через 12 мес.	101-14
8,75%	через1 8 мес.	102-00

Решение. Найдем соответствующие ставки спот-методом цепных подстановок. Сначала найдем 6-месячную ставку спот:

откуда S₆ = 3,3499%.

Подставляя в формулу цены второй облигации, найдем (12-месячную ставку спот):

,

откуда  = 3,4964%.

Подставляя в формулу цены третьей облигации, найдем S18 (18-месячную ставку спот):

,

откуда = 3,6683%.

Задача 14

На основе ставок спот, вычисленных в задаче 13, посчитать номинальную доходность второй (12-месячной) облигации из задачи 13.

Решение. Номинальная (нарицательная) доходность – это купон облигации, которая торгуется по номиналу. Составляем уравнение:

.

Из уравнения находим номинальную доходность С = 6,9876% годовых.

Задача 15

На основе ставок спот, вычисленных в задаче 13, посчитать эффективную доходность инвестиции, если инвестор купил 18-месячную облигацию за 102 и продал через 6 месяцев при условии, что спот-ставки через 6 месяцев не изменились.

Решение.

1. Посчитаем цену облигации через 6 месяцев, подставляя ставки спот:

.

2. Посчитаем эффективную доходность инвестиции, используя формулу 3 и учитывая, что инвестор в конце срока¹ инвестирования получит купон в сумме 8,75/2:

.

Задача 13 (для самоконтроля)

Посчитать 3-, 6- и 9-месячные ставки спот в квартальном выражении по данным трех облигаций со следующими данными:

Купон, % годовых	Погашение	Цена
3%	через 3 мес.	99–00
3,25%	через 6 мес.	97–16
3,5%	через 9 мес.	95–8

Задача 14 (для самоконтроля)

На основе ставок спот, вычисленных в задаче 13, посчитать номинальную доходность второй (6-месячной) облигации из задачи 13.

Задача 15 (для самоконтроля)

На основе ставок спот, вычисленных в задаче 13, посчитать эффективную доходность инвестиции, если инвестор купил 9-месячную облигацию за 95–8 и продал через 3 месяца при условии, что спот-ставки через 3 месяца не изменились.

4. Дюрация как инструмент анализа долговых инструментов мирового финансового рынка

Дюрация как показатель облигации (или портфеля облигации) имеет два важнейших аспекта использования.

1. Первым из них является сравнение облигации с аналогичными по средней срочности платежей «эталонными» облигациями той же страны или других стран с целью оценки спрэда между доходностями сравниваемых облигаций и, как следствие, кредитного риска и переоцененности/недооцененности конкретной облигации. Дюрация, целью использования которой является сравнение с другими облигациями по средней срочности платежей, называется дюрацией Маколея. Фактически, она является средней срочностью платежей по долговому инструменту, взвешенной на их дисконтированную величину, и рассчитывается по следующей формуле:

(11)

где T_n – число лет от настоящего момента до n-го платежа в годах, V_n – величина n-го платежа (под платежом имеется в виду купон, номинал или части купона/номинала), Y – доходность к погашению облигации, f – частота выплаты купона в год, l – число купонных периодов от настоящего момента до n-го платежа (купона).

Отметим, что знаменатель формулы есть не что иное как грязная цена облигации, то есть, используя данные формул 5 и 7, запишем формулу 11 в следующем виде:

(12)

для облигации в день выплаты купона или размещения;

(13)

для облигации в любой день.

Дюрация Маколея используется следующим образом. Если рассматривается корпоративная облигация, то находится суверенная или корпоративная (но с высоким рейтингом, т.е. квазисуверенная) облигация с максимально близкой средней срочностью платежей. Такая облигация будет называться «эталонной» для данной дюрации. Далее доходности искомой и эталонной облигаций сравниваются и между ними находится спрэд разность, который говорит о риске инвестиции в нашу облигацию и о ее кредитных качествах относительно эталонной. Однако мы можем сравнить нашу облигацию с аналогичными по рейтингу, отрасли и дюрации облигациями и выяснить, что доходности будут также различными. В таком случае можно вычислить усредненный спрэд этих (аналогичных) облигаций к эталонной по дюрации и говорить о переоцененности/недооценен­ности нашей конкретной облигации. Для самих суверенных облигаций развивающихся рынков (к коим относится и Россия) также находятся эталонные облигации, которыми являются максимально близкие по дюрации облигации развитых стран, в основном США. Так, для наиболее ликвидных российских суверенных еврооблигаций (имеются в виду еврооблигации России с погашением в 2030 г.) эталонной принято считать 10‑летнюю американскую казначейскую облигацию US T-bond, так как они близки по дюрации. Спрэды между US T-bond и соответствующими по дюрации облигациями развивающихся рынков (в том числе России 2030) являются основными показателями суверенной кредитоспособности развивающихся рынков, а также переоцененности/недооценен­ности их облигаций относительно друг друга, развитых рынков и собственных суверенных рейтингов.

2. Вторым не менее важным аспектом дюрации является оценка чувствительности цены (т.е. финансового результата) облигации в зависимости от сдвигов процентной кривой, изменения рейтингов, макроэкономического фона и корпоративных событий. Например, когда Федеральная резервная система (аналог центрального банка) США объявляет об изменении ставки рефинансирования, вся процентная кривая (в том числе такие ориентиры денежного рынка, как ставки LIBOR и Euribor) по долларовым обязательствам сдвигается, что влечет за собой изменение доходностей долговых обязательств, выраженных в долларах, во всем мире. Трейдерам, инвесторам и портфельным менеджерам необходимо знать, как изменение процентных ставок отразится на их долговых портфелях, а точнее – насколько изменится переоценка портфеля при заданном изменении процентных ставок. Показатель, характеризующий изменение финансового результата в зависимости от изменения доходности долговых инструментов, называется модифицированной дюрацией. Модифицированная дюрация рассчитывается по следующей формуле:

(14)

где Р – грязная цена долгового инструмента на текущий момент, ∆P – изменение грязной цены в базисных пунктах, ∆Y – изменение доходности в долях единицы. Остальные обозначения интерпретировались ранее.

В последние десятилетия показатель модифицированной дюрации стал актуальным также и для государственных чиновников, ответственных за решения по инвестированию государственных валютных резервов в «безрисковые» долговые бумаги США и Евросоюза. Кризисные явления на американском и мировом долговом рынке в 2007–2008 гг. поставили под сомнение безрисковость части этих бумаг в связи с сильным падением их стоимости во время кризиса, а также в связи с вопросами по оценке рисков ипотечных ценных бумаг, многие из которых также официально имели и имеют высокие кредитные рейтинги. Падение цен суверенных и квазисуверенных ипотечных бумаг США привело к огромным списаниям в тех странах, где валютные резервы направлялись в эти бумаги. Россия также пострадала от недооценки рисков, связанных с ипотечными ценными бумагами США, вложив в них часть средств резервного фонда и фонда национального благосостояния. В процессе принятия решений об объектах инвестирования государственных валютных средств важную роль, наряду с официальными рейтингами долговых обязательств, играет показатель модифицированной дюрации, являясь, по сути, мерой риска инвестиций в эти бумаги. Так как изменение рейтинга, макроэкономического фона и корпоративные события (для корпоративных эмитентов) ведут к изменению доходностей, то показатели дюрации также меняются, приводя к увеличению/уменьшению риска инвестирования в эти бумаги.