Расчеты на рынке долгосрочных долговых инструментов
К долгосрочным долговым инструментам относятся облигации. В задачах, приведенных ниже, будут рассматриваться еврооблигации, казначейские облигации и ноты США (T-bonds и Т-notes). Подразумевается, что эти инструменты выпущены на длинные сроки, поэтому процентные выплаты (купоны) по ним можно рекапитализировать, т.е. вкладывать их в эти же самые инструменты. Следовательно, формула расчета цены по ним включает правило сложного процента, т.е. купоны будут инвестироваться в эти инструменты под ту же доходность, под которую вложены средства изначально. Формула расчета цены в день выпуска или выплаты купона имеет вид
(4)
где Р – цена инструмента, N – номинал, Сi – годовая ставка i-го купона в процентах от номинала, Y – доходность к погашению в долях единицы, f – частота выплаты купона в год, k – число купонных выплат до погашения.
Легко заметить, что выражение в правой части формулы 4 является геометрической прогрессией. Если количество купонных выплат велико, то пользоваться такой формулой неудобно. Поэтому путем несложных математических преобразований можно представить формулу 4 для случая с неизменным купоном в более компактном виде
. (5)
Если купонные выплаты неизменны во время срока жизни инструмента, формулы 4 и 5 тождественны.
Для расчета цены облигации в любой другой день, кроме дня размещения или выплаты купона, формулы 4 и 5 не годятся. Для таких случаев (для остальных дней) необходимо ввести понятия накопленного купонного дохода, чистой цены, грязной цены и дробного купонного периода.
Накопленный купонный доход (НКД) – часть купона, подлежащая уплате покупателем продавцу пропорционально периоду, который прошел со дня последней купонной выплаты (или дня размещения, если это первый купонный период). Рассчитывается по формуле:
.
Чистая цена – цена, по которой купонные инструменты котируются.
Грязная цена – стоимость купонного инструмента, т.е. сумма, которую продавец получит, а покупатель заплатит за долговую бумагу.
Грязная цена = чистая цена + накопленный купонный доход.
Дробный купонный период – остаток текущего купонного периода до выплаты следующего купона.
.
Итак, формула цены купонного долгового инструмента на день, который может не совпадать с днем размещения или купонной выплаты, следующая:
(6)
где Р – цена инструмента, A – накопленный купонный доход, N – номинал, Сi – годовая ставка i-го купона в процентах от номинала, Y – доходность к погашению в долях единицы, f – частота выплаты купона в год, k – число целых купонных выплат до погашения, m – дробный купонный период.
Легко заметить, что выражение в правой части формулы 4 является геометрической прогрессией. Если количество купонных выплат велико, то пользоваться такой формулой неудобно. Поэтому для случая с неизменным купоном эту формулу также представим в более компактном виде
. (7)
Формула 7 является универсальной для расчета любых долговых инструментов в любые относительно купонных выплат дни.
Задача 10
Посчитать чистую цену еврооблигации, если она погашается через 10 лет и 2 месяца, доходность к погашению 8%, купон 5% годовых выплачивается раз в полгода.
Решение. Так как есть дробный купонный период (т.е. цена рассчитывается для дня, отличного от дня купонной выплаты или размещения), и ставка купона до погашения меняться не будет, чистая цена рассчитывается по формуле 7:
K = 20, так как 10 лет по полгода составляют 20 целых купонных периодов. Номинал по умолчанию принимается за 100. Находим Р = 80,21.
Бывают случаи, когда в проспекте эмиссии фиксируются различные купонные ставки для различных купонных периодов. В таких случаях формулы 5 и 7 несколько изменяются. Задачи 11 и 12 решены именно для таких случаев.