Задание 2.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины Решение типовых задач
Пример 2.4.1.
При установившемся
технологическом процессе предприятие
выпускает
своих изделий первым сортом и
вторым сортом. Найти закон распределения
случайной величины
– числа изделий первого сорта из взятых
наугад четырех изделий. Вычислить
математическое ожидание
,
дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
этой случайной величины.
Решение. Очевидно, что случайная величина может принимать следующие возможные значения: 0,1,2,3,4. вероятности этих значений вычислим по формуле Бернулли:
,
,
,
,
.
Проверка:
,
т. е. вычисления выполнены правильно.
Итак, закон распределения случайной величины :
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:
;
;
.
Пример 2.4.2. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения:
xi |
-2 |
1 |
2 |
3 |
pi |
0,08 |
0,40 |
0,32 |
0,2 |
Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение случайной величины X; г) функцию распределения (найти и построить).
Решение:
а) Используя формулу, находим
.
б) Дисперсию вычисляем по формуле (20):
,
.
в) По формуле
(21)
.
г) По определению функции распределения находим:
если
,
то
;
если
,
(например,
),
то
;
если
,
(например,
),
то
;
если
,
то
;
если
,
то
.
Итак,
График функции
изображен на рисунке 1.
Задачи для самостоятельного решения
2.4.1. Таблицей задан закон распределения дискретной случайной величины х. Найти математическое ожидание м(х), дисперсию d(X) и среднее квадратическое отклонение s(X).
Вари-ант |
Закон распределения |
Вари-ант |
Закон распределения |
||||||||||||||||||||
1 |
X
–6
8
9
10
p
0,1
0,1
0,6
0,2 |
2 |
X
–2
–1
0
3
p
0,2
0,5
0,1
0,2 |
||||||||||||||||||||
3 |
X
–5
–4
2
3
p
0,1
0,5
0,2
0,2 |
4 |
X
–2
0
1
4
p
0,5
0,1
0,2
0,2 |
||||||||||||||||||||
5 |
X
–7
–5
–2
3
p
0,4
0,4
0,1
0,1 |
6 |
X
–2
1
3
8
p
0,1
0,1
0,3
0,5 |
||||||||||||||||||||
7 |
X
–5
–2
3
7
p
0,1
0,3
0,2
0,4 |
8 |
X
–3
–1
0
2
p
0,3
0,2
0,2
0,4 |
||||||||||||||||||||
9 |
X
–2
–1
3
8
p
0,1
0,5
0,2
0,2 |
10 |
X
–3
2
4
6
p
0,3
0,2
0,2
0,3 |
||||||||||||||||||||
11 |
X
–4
3
5
6
p
0,1
0,3
0,4
0,2 |
12 |
X
–2
–1
0
1
p
0,2
0,4
0,1
0,3 |
||||||||||||||||||||
13 |
X
–2
–1
2
5
p
0,1
0,5
0,2
0,2 |
14 |
X
–8
-3
1
4
p
0,3
0,3
0,2
0,2 |
||||||||||||||||||||
15 |
X
–4
–3
–2
3
p
0,4
0,4
0,1
0,1 |
16 |
X
–2
2
3
8
p
0,1
0,1
0,3
0,5 |
2.4.2. Найти закон распределения указанной дискретной СВ Х и ее функцию распределения F(X). Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X). Построить график функции распределения F(X).
1. Производятся три выстрела по мишени. Вероятность поражения мишени первым выстрелом равна 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,6. СВ Х – число поражений мишени.
2. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,6. СВ Х – число поражений цели при четырех выстрелах.
3. Вероятность поступления вызова на АТС в течение 1 мин равна 0,4; СВ Х – число вызовов, поступивших на АТС за 4 мин.
4. Вероятность успешной сдачи первого экзамена для студента равна 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. СВ Х – число сданных экзаменов.
5. Вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 – 0,8, для СУ-3 – 0,7. СВ Х – число СУ, перевыполнивших план.
6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8; СВ Х – число попаданий в цель при трех выстрелах.
7. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/6; СВ Х – число выигрышных билетов из четырех.
8. В первой студенческой группе из 24 человек 4 отличника, во второй из 22 – 3 отличника, в третьей из 24 – 6 отличников и в четвертой из 20 – 2 отличника. СВ Х – число отличников, приглашенных на конференцию, при условии, что из каждой группы выделили случайным образом по одному человеку.
9. В партии из 15 телефонных автоматов 5 неисправных; СВ Х – число неисправных аппаратов среди трех случайным образом отобранных.
10. Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из четырех студентов равна 0,8; СВ Х – число студентов, сдавших экзамен.
11. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято три детали. СВ Х – число стандартных деталей в выборке.
12. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на 10 (десять) наугад извлекаются 3 работы. СВ Х – число работ, оцененных на 10 среди извлеченных.
13. В урне 5 белых и 20 черных шаров. Вынули три шара. СВ Х – число вынутых белых шаров.
14. Вероятность попадания мячом в корзину при каждом броске для данного баскетболиста равна 0,4. СВ Х – число попаданий при четырех бросках.
15. СВ Х – число мальчиков в семье с пятью детьми, при равновероятном рождении мальчика и девочки.