Тема 2. Слооожные проценты.

2.1 Сущность сложных процентов.

Сложные проценты возрастают с каждым периодом т.к. начисляются на первоначальную сумму долга вместе с процентами, накопленными за все предыдущие периоды:

……………

Получили геометрическую прогрессию , сумма членов которой определяется по формуле:

Общая сумма процентов за весь срок долга находится путем суммирования процентов за периоды:

(в данном случае , )

Формула сложных процентов:

При начислении сложных процентов каждые следующие проценты начисляются на предыдущие проценты (проценты на проценты), т.е. происходит капитализация процентов.

2.2 Наращение и дисконтирование по сложной ставке.

При начислении сложных процентов с помощью наращения находят наращенную сумму, а с помощью дисконтирования первоначальную сумму долга:

Формула наращения по сложной ставке: ,

где - множитель наращения по сложной ставке, показывает, во сколько раз

наращенная сумма S больше первоначальной суммы долга P.

Формула дисконтирования по сложной ставке: P = ,

где - дисконтный множитель по сложной ставке, показывает, во сколько раз

первоначальная сумма долга (современная величина долга) P меньше

наращенной суммы S.

Если срок долга дробное число, множитель наращения рассчитывают по смешенной схеме, когда за целую часть срока начисляют сложные проценты, а за дробную – простые:

, где - целая часть числа n,

- дробная часть

Из формулы наращения получают формулы для ставки и срока:

1) размер сложной ставки:

2) срок долга: , где а – любое положительное число.

2.3 Начисление сложных процентов несколько раз в году.

Если сложные проценты начисляются несколько раз в году, то вводится понятие номинальная ставка - это суммарная годовая ставка.

.

, где j - номинальная ставка (годовая),

i - сложная ставка за период начисления,

m - количество начислений за год.

Формула наращения по сложной ставке: ,

где - множитель наращения по номинальной ставке, показывает, во сколько раз

наращенная сумма S больше первоначальной суммы долга P.

Чем чаще начисляются сложные проценты, тем больше результат наращения при одной и той же номинальной ставке.

номинальная ставка - это суммарная годовая ставка при начислении сложных процентов несколько раз в году

сложная ставка – используется, когда каждый период проценты начисляются на различную накопленную сумму, т.е. на сумму первоначального долга вместе с процентами за все предыдущие периоды (проценты начисляются на проценты, капитализация процентов)

сложные проценты – проценты, начисляемые по сложной ставке

смешенная схема – применяется при начислении сложных процентов, когда срок долга дробное число, тогда за целую часть срока начисляют сложные проценты, а за дробную часть – простые проценты