
Тема 2. Слооожные проценты.
2.1 Сущность сложных процентов.
Сложные проценты возрастают с каждым периодом т.к. начисляются на первоначальную сумму долга вместе с процентами, накопленными за все предыдущие периоды:
……………
Получили
геометрическую прогрессию
,
сумма членов которой определяется по
формуле:
Общая сумма процентов за весь срок долга находится путем суммирования процентов за периоды:
(в
данном случае
,
)
Формула
сложных процентов:
При начислении сложных процентов каждые следующие проценты начисляются на предыдущие проценты (проценты на проценты), т.е. происходит капитализация процентов.
2.2 Наращение и дисконтирование по сложной ставке.
При начислении сложных процентов с помощью наращения находят наращенную сумму, а с помощью дисконтирования первоначальную сумму долга:
Формула
наращения по сложной ставке:
,
где
- множитель наращения по сложной ставке,
показывает, во сколько раз
наращенная сумма S больше первоначальной суммы долга P.
Формула
дисконтирования по сложной ставке: P =
,
где
- дисконтный множитель по сложной
ставке, показывает, во сколько раз
первоначальная сумма долга (современная величина долга) P меньше
наращенной суммы S.
Если срок долга дробное число, множитель наращения рассчитывают по смешенной схеме, когда за целую часть срока начисляют сложные проценты, а за дробную – простые:
,
где
-
целая часть числа n,
-
дробная часть
Из формулы наращения получают формулы для ставки и срока:
1)
размер сложной ставки:
2)
срок долга:
, где а – любое положительное число.
2.3 Начисление сложных процентов несколько раз в году.
Если сложные проценты начисляются несколько раз в году, то вводится понятие номинальная ставка - это суммарная годовая ставка.
.
,
где j - номинальная ставка (годовая),
i - сложная ставка за период начисления,
m - количество начислений за год.
Формула
наращения по сложной ставке:
,
где
- множитель наращения по номинальной
ставке, показывает, во сколько раз
наращенная сумма S больше первоначальной суммы долга P.
Чем чаще начисляются сложные проценты, тем больше результат наращения при одной и той же номинальной ставке.
номинальная ставка - это суммарная годовая ставка при начислении сложных процентов несколько раз в году
сложная ставка – используется, когда каждый период проценты начисляются на различную накопленную сумму, т.е. на сумму первоначального долга вместе с процентами за все предыдущие периоды (проценты начисляются на проценты, капитализация процентов)
сложные проценты – проценты, начисляемые по сложной ставке
смешенная схема – применяется при начислении сложных процентов, когда срок долга дробное число, тогда за целую часть срока начисляют сложные проценты, а за дробную часть – простые проценты