55. Сформулировать теоремы о дифференцировании сложной и обратной функций и доказать их.

Теорема 3 (дифференцирование сложной  функции). Пусть  функция x = f(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x)  дифференцируема в соответствующей точке x = f(t). Тогда  сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t,  причем справедлива формула  (f(f(t)))'    = f'(x)f'(t).  Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t)    функции x = f(t). Приращению D x отвечает приращение D y = f(x+ D    x)-f(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1):  D y =f'(x)D    x +a (D    x) D x,  где lim_D x® 0a (D x ) = 0. Поделив данное выражение на D t ¹ 0, будем    иметь:  D y/D t=f'(x)D x/D t+ a (D x)D x/D t.  Из дифференцируемости    функции x = f (t) в точке t вытекает, что  lim_D t® 0D x/D t = f'(t).  Отметим, что из    дифференцируемости функции x = f(t)    следует, что D x® 0    при D t® 0.    Следовательно, lim_{D    t® 0}a (D x) =0.    Таким образом, получим необходимую формулу  Теорема 4 (производная обратной  функции). Пусть функция  y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x.  Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)¹ 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x)  определена обратная функция x = f^-1(y), причем  обратная функция дифференцируема в точке x = f^-1(y)  и для ее производной справедлива формула  (f^-1(y))' = 1/f'(x).  56. Дать определение функции, заданной параметрическими уравнениями. Сформулировать  теорему о дифференцировании функции, заданной параметрически, и доказать ее.  Дать определение неявной функции. Сформулировать правило дифференцирования  неявной функции. 

57. Сформулировать и доказать теоремы Ролля, Лагранжа и Коши и их следствия.

Теорема  1. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x)  непрерывна  на отрезке [a, b];  дифференцируема  в интервале (a, b);  на  концах отрезка [a, b] принимает равные значения.  Тогда  существует точка c О (a, b) такая, что f'(c) = 0.  Теорема  2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)  непрерывна  на отрезке [a, b];  дифференцируема  в интервале (a, b).  Тогда  существует точка с О (a, b) такая, что  f(b)    − f(a) = f '(c) · (b − a) .  Теорема  3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)  непрерывны  на отрезке [a, b];  дифференцируемы  в интервале (a, b);  "x  О (a, b) g'(x) ≠ 0 .  Тогда  существует точка c О (a, b) такая, что    f(b) − f(a)=  g(b) − g(a)  f '(c)  g      '(c) 

58.Дать понятие о неопределенностях при вычислении пределов и назвать их виды. Сформулировать правило Лопиталя и рассказать об особенностях его применения..

59. Дать определение дифференциала функции и раскрытьего геометрический смысл. Сформулировать свойства дифференциала и записать соответствующие формулы.

Дифиринциал-линейная  часть приращения функции  Свойства:1)диффиринциал  постоянной =0  2)дифференциал  суммы дифференциальных функций равен сумме дифиринциалов слогаемых  3)диф.  Произведения2 диф. Функций равен  произведению первой на диф 2 + наоборот  4)диф  частного u/v диф функций u=u(x) и v=v(x) определяеться формулой  D(u/v)=vdu-udy/v*v