48. Определить понятия бесконечно больших и бесконечно малых функций, эквивалентности бесконечно малых функций.

Записать формулы эквивалентныхбесконечно малых функций.  Функция  y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞,  если или , т.е. бесконечно малая функция – это  функция, предел которой в данной точке равен нулю.  Бесконечно  большая функция если её придел равен +- бесокнечности.  Пусть  α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е.   и  1.  Если =А¹ 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно  малыми одного порядка.  2.  Если, =0, то α називатся бесконечно малой более  высокого порядка , чем ß.  3.  Если =∞, то α называется бесконечно малой более  низкого порядка, чем ß.  4.  Если  не существует, то α и ß называются  несравнимыми бесконечно малыми.  49. Дать определения непрерывность функции в точке. Изложить свойства функций,  непрерывных в точке. 

Функция  yf(x непрерывна в  (.)х=х0 если:  1)она  в этой точке определена  2)значения  предела данной функции = значению предела даной точке.  Свойства  1)если  y=f(x) и y =q(x) неперывныв  (.)х0. То их сумма разность , произведение , частное неперывно в точке х0.

50. Дать определение точки разрыва функции. Сформулировать условие непрерывности функции в точке. Изложить классификацию разрывов функции.

Точка в которой нарушаеться  условие непрерывности называеться точкой разрыва.  Функция y=f(x) непрерыввна в х0тогда и только тогда . если предел слева =  пределу справа и = значению функции этой точки f(x0-o)=f(x0+0)=f(xo).  1)Если в точке х=х0f(x0-o) не =f(x0+0)  то х0- предел разрыва 1 рода, при этом одностороние пределы сушь и конечны  2)Ести хоть 1 из  одностороних пределов бесконечен или не сушествует то х0 точка разрыва 2 рода  3)Если односториние пределы  сушь , конечны и равны между собой но не раны значению функции в точке х0 то х0  точка устранимого разрыва.

51. Дать определение непрерывности функции на отрезке. Сформулировать теоремы о  функциях, непрерывных на отрезке.  .  Функция f(x)  называется непрерывной на отрезке [a, b], если  она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в  точке a и непрерывна слева в точке b.  Теорема  1 (об ограниченности  непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на  этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "xО [a, b] выполняется  неравенство |f(x)| ≤ C.  Теорема  2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,  b], то она достигает на этом отрезке  своего наибольшего значения M и  наименьшего значения m, т.е. существуют  точки α, βО [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех xО [a, b]  Теорема  3 (о существовании нуля).  Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,  b] и на концах отрезка принимает  ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней  мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.  Теорема  4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,  b], то она принимает на (a,b) все промежуточные  значения между f(a) и f(b).  52. Дать определение асимптоты графика функции. Назвать их виды, сформулировать  условия существования... 

Асимптотой  называеться кривая к которой приблежаються точки на прямой , по мере удаления  аргумента от начала кординат.  Виды:  вертекальные горизонтальные наклонные.  1)прямая  Х=а называеться вертекальной асимптотой графикаy=f(x) если хоть 1 из указаных значенийх=аlimf(x)и хстремиться к + или -a.  2)горизонтальная  асимптота .y=f(x) при х  стремиться к =или- бесконечности имеет горизонтальную асимптоту  Limf(x)=bпри х стремиться к бесконечности или -  бесконечности .  3)наклонная  y=f(x) имеет наклонную асимптотутогда и только тогда когда сушшь 2 конечных  приделаk=lim(f(x)/x) при х стремяшемся к бесконечности … lim (f(x)-kx)=b 

53. Дать определение производной функции. Сформулировать и доказатьосновное свойство производной функции.  Сформулировать правила дифференцирования и записать соответствующие формулы.  54..Раскрыть механический (физический) и геометрический смысл производной. Записать и  разъяснить уравнения касательной и нормали к кривой.  Геометрический смысл  производной. Если функция имеет конечную производную в точке x₀, то в окрестности U(x₀) её можно приблизить  линейной функцией  Функция f_l  называется касательной к f в точке x₀. Число f'(x₀)  является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.  Скорость  изменения функции  Пусть s  = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t₀) = s'(t₀)  выражает мгновенную скорость движения в момент времени t₀.  Вторая производная a(t₀) = s''(t₀)  выражает мгновенное ускорение в момент времени t₀.  Вообще производная функции y = f(x) в точке x₀  выражает скорость изменения функции в точке x₀,  то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).  уравнение касательнойQUOTE или QUOTE Уравнение нормали