41. Дать определение числовойпоследовательности,изложить ее свойства. Перечислить виды последовательностей. И способы задания числовой последовательности.

Числовая  последовательность – это числовая функция, заданная на множестве натуральных  чисел.  Задать  последовательность означает задать правило, по которому каждому номеру из ряда  натуральных чисел соответствует одно и только одно действительное число.  Способы  задания последовательности:  1)  формулой общего члена  2)  рекуррентной формулой  3)  словесным описанием  4)  графически  5)  точками на числовой оси  Свойства  числовых последовательностей:  1)  монотонность  Последовательность  называется возрастающей (убывающей), если каждый её член начиная со второго  больше (меньше) предыдущего.  2)  ограниченность  Последовательность  называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.  Последовательность  {Xn} называется ограниченной сверху  (снизу), если существует число M (m) такое, что выполняется неравенство  Xn≤М (Xn≥m).  42. Дать определение арифметической прогрессия и изложить ее свойства 

Арифметическая прогрессия - Это  последовательность, всякий член которой, начиная со второго, равен предыдущему,  сложенному с постоянным числом. х_n+1=х_n+d  Если шаг d > 0,  прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.  Любой член арифметической  прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и  следующего члена прогрессии:  .  Сумма n первых членов арифметической прогрессии  может быть выражена формулами  Сумма n последовательных членов арифметической  прогрессии начиная с члена k:  Пример суммы арифметической прогрессии является сумма  ряда натуральных чисел до n включительно:  43..Дать определение геометрической прогрессия и  изложить ее свойства. 

Геометрическая - это последовательность, всякий член которой, начиная со  второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число. х_n+1=х_n+q  Произведение первых n членов геометрической прогрессии  можно рассчитать по формуле:  ,  Произведение членов геометрической прогрессии начиная  с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:  Сумма n первых членов геометрической  прогрессии:  , при  , при  Если , то при , и  при .  44. Дать понятие предела последовательности. Изложить критерий Коши и  Сформулировать теоремы о свойствах предела последовательности. 

. Конечное число а  называется пределом числовой  последовательности {х_n}, если для любого > 0 (сколь угодно малого) существует число  N = N() такое, что |х_n - а| N.  Обозначение: = а. 

45. Дать понятие бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, изложить их свойства.

. Бесконечно  малые и бесконечно большие последовательности:  Последовательность  называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.  Свойства  бесконечно малых последовательностей:  1)  сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая  последовательность.  2)  произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, есть  бесконечно малая последовательность.  Следствие:  произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая  последовательность.  3)  для того, чтобы выполнялось равенство QUOTE необходимо и достаточно, чтобы  последовательность можно было представить в виде суммы постоянной величины и  бесконечно малой последовательности.  Последовательность  называется бесконечно большой, если для любого числа М>0 найдется такое  натуральное число N, что для  всех n начиная с  этого номера выполняется условие │Xn│>М.  Свойства  бесконечно больших последовательностей:  1)  Если {α_n}бесконечно  малая последовательность, то { QUOTE } бесконечно  большая последовательность. Если {α_n}бесконечно  большая последовательность, то { QUOTE } бесконечно  малая последовательность.  2)  Если предел последовательности β_n=∞ и  все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера, положительны,  то последовательность стремится к положительной бесконечности. А если члены  отрицательны, то последовательность стремится к отрицательной бесконечности.  46. Дать понятие предела функции в точке. Изложить критерийГейне и критерийКоши. Сформулировать теоремы о свойствах пределов функций. 

Предел  функций в точке:  Предел в  точке -числоbназв. пределом функции f в  точке x=a, если для любой послед {Xk},  сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции {F(k)} сходится к b.  Критерий  Гейне: число А называется пределом функции в точке х₀, если для  любой последовательности значений аргументов {x_n} сходящейся к х₀, соответствующая  последовательность значений функций сходится к А.  Критерий  Коши: число А называется пределом функции при х стремящемся к х₀,  если для любого эпсилон больше нуля можно указать такое положительное  δ(дельта), зависящее от эпсилон, что для любого х удовлетворяющего неравенству  0<│х- х₀│<δ выполняется неравенство │f(x)-А│<Е.  Теоремы о  пределах:  Если  существуют QUOTE , QUOTE , то  существует также предел их суммы, разности, произведения и частного.  Следствия:  1)  постоянный множитель можно выносить за знак предела  2)  предел многочлена в точке равен значению многочлена в этой точке.  3)  предел дробно-рациональной функции также равен значению функции в этой точке  при условии, что точка принадлежит области определения функции.  Если  при вычислении предела и числитель и знаменатель имеют предел равный нулю, то  нужно разделить их на двучлен х- х₀ и вычислить предел, при  необходимости повторить.  47 . Дать понятие предела функции на бесконечности и односторонних пределов.  Раскрыть суть вычисления пределов как раскрытия неопределенностей.Записать формулы замечательных пределов.. 

Число  В называется пределом функции f(x) если для любого ε > найдеться число  М>0 такое что для всех Х >М выполняетьсяf(x)- b < ε  Односторо́нний преде́л — предел числовой функции, подразумевающий  «приближение» к предельной точке с одной стороны.Если  число А₁ (число А₂) есть предел функции при х,  стремящемся к а так, что х принимает только значения меньшие (большие) а, то А₁  (А₂) называется левым (правым) пределом функции в точке а.  Раскрытие  неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами,  которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента  теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:бесконечность –бесконечность,  бесконечно \бесконечность,0 в нулевой степени и тд…  Первый замечательный предел:  Второй замечательный предел: