12. Дать определение операций транспонирования и умножения матриц. Изложить их свойства, записать соответствующие формулы.

Транспонирование  – меняем местами столбци относительно строк.  Умножение  матрицы на число ….каждый элемент умножаем на это число.  Свойства 1) А+B =B=A  2)(A+B)*C= AC+BC  3) C=-1C*A=-A  4)(AB)транспониравание= Атр. * Втр.

13. Дать определение определителя квадратной матрицы. Записать формулы для вычисления определителей2-го и 3-го порядков, изложить и доказать ихсвойства. Сформулировать правило Саррюса.

Определитель(det) - число или выражение которое можно поставить в  соответствие любой кв. матрице.  Свойства:1)detне меняеться  при транспортировании det=det тр.  2)если  строка или столбец =0 то det =0  3)если  2 строки или 2 столбца равны или пропорциональны det=0  4)если  поменять местами 2 столбца или 2 строки detизменит знак  5)если  в строке или столбце есть оший множитель его можно вынести за знак  определитеся  6)если  к эл. строки или столбца прибавить соответствующие эл. Другой строки или  столбца то det не измениться.  Правило  СаррЮса(пентаграма): определитель состоит из 3положительных и 3 отрицательных  слогаемых.  14. Дать определение определителя квадратной матрицы. Изложить способы вычисления  определителей n-го порядка,их свойства.  Сформулировать теорему Лапласа и записать соответствующие формулы.  Определитель(det)  - число или выражение которое можно поставить в соответствие любой кв. матрице.  Определитель квадратной матрицы равен  сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические  дополнения: 

(*)

(разложение по элементам i-й строки); 

(**)

(разложение по элементам j-го  столбца).  15. Определить понятие обратной матрицы. Изложить ее свойства.Изложить алгоритм вычисления обратной  матрицы.  Квадратная  матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка,  если их произведение А*В = В* А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка,  что и матрицы А и В.  АЛГОРИТМ  1)Пусть  для матрицы A существует обратная матрица A^-1.  Покажем, что |A| ≠ 0.  2)находим  все алгеброические дополнения матрицы А и из них стостовляем матрицу В  3)транспорнируем  матрицу В и=С  4)  A^-1=С*1\detA  5)проверняем  А* A^-1=E 

16. Дать определения минора порядка k для произвольной матрицы, ранга и базисного минора матрицы. Изложить способы нахождения рангаматрицы.

Минором  порядка k называеться определитель порядка k-1 получиный из исходной матрицы вычеркиванием строки  и столбца содержашего данный элемент.  Ранг  матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.  Базисным  минором матрицы  называется любой её ненулевой минор максимального порядка  Метод  элементарных преобразований  Ранг  матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой  форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.  Метод  окаймляющих миноров  Пусть  в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M.  Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя  (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.  В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся  процедура повторяется. 

17.Определитьпонятия системы линейных  алгебраических уравнений с n неизвестными, еерешения, совместности, определенности, несовместности, неопределенности,  эквивалентности, эквивалентных преобразований. Сформулировать критерий  совместности системы. 

Система  линейных алгебраических уравнений с неизвестными — это система  уравнений вида  Вот--à  Здесь   —  неизвестные. Коэффициенты системы и её свободные членыпредполагаются известными.  Решение системы уравнений — совокупность чисел , таких что  подстановка каждого  вместо  в систему обращает все её  уравнения в тождества.  Система  называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.  несовместной, если у нее нет ни одного решения.  Если  имеет только 1 решение то определенная ,если больше 1 неопределенаая.  Если  все b=0 то –одноровная.  КРИТЕРИИ:имеет  больше 1или хотябы 1 решение…  18. Записать систему в матричном виде. Изложить сущность решения систем линейных  алгебраическихуравнений методом  обратной матрицы.  Метод обратной матрицы:Систему линейных алгебраических  уравнений AX = b умножим слева на матрицу, обратную к А.  Система уравнений примет вид: 

A^-1AX=A^-1b,  EX=A^-1b,  (E - единичнаяматрица)

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A^-1b.  19.Сформулировать теорему Крамера. Записать  формулы Крамера. Раскрыть сущность решения систем линейных алгебраических уравнений  методом Крамера. 

Крамер:  det не равен 0,система имеет 1 решение.  xi  = Di/D, где  D  = det A,  а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы  заменой столбца i столбцом свободных членов bi.  Метод  обратной матрицы  20. Изложить алгоритм метода Гаусса, раскрыть его сущность и виды решений в  зависимости от полученной ступенчатой матрицы. Сформулировать критерий  Кронекера-Капелли. Определить понятие базисных и свободных неизвестных, общего  и частного решения для систем с бесконечным множеством решений.  Это  метод последовательного исключения переменных, когда с  помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной  системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно,  начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.  1)на 1 место ставим  а11не равное 0  2)на 2 мессто  ставим а22 не равное нулю…и дальше аналогично до конца пока не получим 1 из 3  вариантов.  1)треугольная  система – тогда она совместная и определенная , есть 1 ответ  2)1  из ур. Системы имеет выд 000…..В не= 0 занчит система не совместа (не имеет  решений)  3)получена  система тропециивидной матрицей, из псоледнего ур. Выражаем неизвестную  например хк через остальные nkзатем  подставляем в последние и до верхнего. Такая система имеет бесконечно решений,  переменые в ней деляться на базисные и свободные. Свободыне принимают любое  занччение а базисные выр через свободные, за базисные берут те которые  состовялют не нулевой минор.  Кронер-капелли:Система совместна (имеет хотя бы  одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу  расширенной матрицы.  21. Дать понятие вектора на плоскости и в пространстве, определить линейные  операции над векторами в геометрической форме, изложить их свойства. 

Вектором как на плоскости так и в пространстве  называется направленный отрезок у которого  различают точку  приложения начало и конец.  Линейные  операции над векторами  и их  свойства:  Суммой  векторов а и б называется вектор с:  а(вектор)+б(вектор)=с(вектор)  1)а(вектор)+б(вектор)=б(вектор)+а(вектор)  2)(а+б)+с=а+(б+с)(над всеми буквами ставить стрелку à)  3)а+0=0+а=а(над всеми буквами и цифрами ставить стрелку  à)  4)а+(-а)=(-а)+а=0(над всеми буквами и цифрами ставить  стрелку à) 

22. Дать понятие базиса на плоскости и в пространстве, сформулировать теоремы о  разложении произвольного вектора по базису на плоскости и в пространстве и доказать  их. Определить понятия проекции точки и вектора,координат вектора в данном базисе. 

Базисом на плоскости  являются любые два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке, а  Базисом в пространстве — любые три некомпланарных вектора, взятых в  определенном порядке.  Теорема о разложении  вектора по базису на плоскости  Любой вектор на  плоскости может быть разложен и при том единственным образом по любым двум  неколлинеарным векторам.  Числа x и y называют координатами данного вектора  в данном базисе.  Совокупность начала О  и прямоугольного базиса называют прямоугольной Декартовой системой координат.  Точку О называют началом координат. Векторы базиса называют координатными  векторами.  23. Изложить понятие прямоугольной декартовой системы координат. Записать форму для  вычисления длины вектора. Определитьлинейные операции над векторами в прямоугольных декартовых координатах и  записать соответствующие формулы. 

Аффинная система координат— прямолинейная система  координат в аффинном пространстве.Прямоугольная система координат на плоскости  образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси  координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на  каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе  координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении  оси Y'Y вверх, ось X'X смотрела направо. (САМАЯ ОБЫЧНАЯ ОСЬ КОТОРУЮ МЫ ВСЕГДА  ЮЗАЕМ)  24. 

Дать определение скалярного произведения векторов, изложить его свойства,  вывести формулу для вычисления в координатной форме. Изложить механический  смысл скалярного произведения. 

Скалярным произв двух  ненулевых векторов наз. число,равное  произведению их длин на cos угла между векторами/  Свойства скаляр произв 1 AB=BA; 2 α(AB)=(Αa)B=A(Bα) ; 3 A(B+C)=AB+AC ; Формула для выч:AB=AxBx+AyBy+AzBz; !!!; Cos (A,B)QUOTEQUOTE; Механич  смысл:A=│F││S│cos  25. Дать определение векторного  произведения векторов: изложить его свойства, геометрический смысл,вычисление в координатной форме. 

Векторным произведением вектора a на вектор b в пространстве rназывается вектор c удовлетворяющий  следующим требованиям:/ 1)длина вектора cравна  произведению длин векторов a и b на синусугла; между ними 2)вектор cортогоналенкаждому из векторов a и b; 3)вектор cнаправлен так, что тройка векторов abc является правой. 4)в случае пространства rтребуется ассоциативность тройки векторов a.b.cГеометрический  смысл смысл |c|=s=|a||b|*sin QUOTE  Сме́шанное произведе́ниевекторов —  [http://ru.wikipedia.org/wiki/Скалярное_произведение|скалярное  произведение]векторана векторное произведениевекторови :  Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёмупараллелепипеда, образованного векторами.  Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:  (a,b,c)=(b,c,a)-(c,a,b)—(b,a,c)=-(c,b,a)=-(a,c,b)  т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет  знак произведения. Отсюда следует, что  26. Дать определение смешанного произведения векторов, изложить его свойства,  геометрический смысл, вычисление в координатной форме. 

27. Дать понятие числовой функции, ее области определения и области значений.  Определить способы задания функции. Сформулировать простейшие  свойства.функций. 

28. Дать понятие обратной и сложнойфункции,  неявно заданной функции, параметрически заданной функции. 

29. Определить способы задания прямой на плоскостии вывести различные виды уравнений прямой на плоскости в зависимости от  способа задания.. 

30. Разъяснить критерии определения взаимного расположения прямых на плоскости в  зависимости от видов уравнений прямых. Записать условия параллельности и  перпендикулярности прямых. Дать определение угла между двумя прямыми и  расстояния от точки до прямой. Записать формулы для определения угла между  двумя прямыми и .расстояния от точки до прямой. 

31. Дать определение  окружности, записать ее геометрическое, каноническое и нормальное уравнения,  изложить геометрические свойства. 

Окружность –  это множество точек плоскости, равноудалённых от центра.  (х-х₀)²+(у-у₀)²=R² (нормальное  уравнение)  С(0;0)→х²+у²=R²  (каноническое уравнение)  Окружность является частным  случаем эллипса.  Касательная к окружности  всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой  касания.  Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно  провести окружность, и притом только одну.  Точка касания двух окружностей лежит на линии,  соединяющей их центры.  32. Дать определение эллипса, его основных параметров, записать его  геометрическое,каноническое и  алгебраическое уравнения,изложить  геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета иопределить взаимосвязь осей и фокусного  расстояния.  . Эллипс – это множество точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F₁ и F₂  (называемых фокусами) постоянна, то есть| F₁M  | + | F₂M | = 2a.  Положение фокусов F1F2eOxF1F2eOy  Координаты  фокусовF₁(-С;0)F₂(С;0)F₁(0;С)F₂(0;-С)  Фокусное  расстояние|F₁F₂|=2с  Большая  ось|А₁А₂|=2а|В₁В₂|=2в  Малая  ось|В₁В₂|=2в|А₁А₂|=2а  Связь  а, в, с.а>в:  а²-в²=с²в>а: в²-  а²=с²  Уравнениеx2/y2+y2/b2=1 QUOTE (каноническое уравнение)  ЭксцентриситетE=2c/2aE=2c/2bQUOTE QUOTE  Эксцентриситетом  эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси.  33. Дать определение гиперболы, ее основных параметров. Записать ее геометрическое,  канонические и алгебраическоеуравнения,изложить  геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета,  уравнения асимптот иопределить  взаимосвязь длин осей и фокусного расстояния. 

Гипербола - множество  точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух  данных точек той же плоскости постоянен и меньше расстояния между этими  точками.  Уравнение  гиперболыx2/a2-y2/b2=1-----y2/b2-x2/a2=1  QUOTE  Положение  фокусов F1F2eOxF1F2eOy  Координаты  фокусовF₁(-С;0)F₂(С;0)F₁(0;С)F₂(0;-С)  Фокусное  расстояниеF₁F₂|=2с  Действительная  ось|А₁А₂|=2а|В₁В₂|=2в  Мнимая  ось|В₁В₂|=2в|А₁А₂|=2а  Связь  а, в, са²+в²=с  ЭксцентриситетE=2c/2aQUOTE E=2c/2b QUOTE  Ур. асимптот x/y-y/b=0 иx/a+y/b=0  y=E>1/+-b/a*корень x*x-a*a -- алгебраическое получение гиперболы.  Асимптотами гиперболы  называются прямые, к которым неограниченно приближаются точки на гиперболе по  мере удаления элемента от начала координат.  34. Дать определение равносторонней гиперболы, ее основных параметров. Записать ее  геометрическое, канонические и алгебраическоеуравнения,изложить  геометрические свойства. Записать формулы для вычисления эксцентриситета,  уравнения асимптот иопределить  взаимосвязь длин осей и фокусного расстояния. 

Равносторонней называется  гипербола у которой а=в, её уравнение х2- у2=а2.  Эксцентриситет E=2c/2a E=2c/2b  Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине  действительной оси.  Асимптотами гиперболы называют прямые к которым неограниченно приближены точки  на гиперболе по мере удаления аргумента от начала координат  Ур. асимптот x/y-y/b=0 и x/a+y/b=0  Уравнение гиперболы х2/а2-у2/в2=1 у2/в2-х2/а2=1  у=(Е>1)/(±в/а √(х*х-а*а)) -- алгебраическое получение гиперболы.  Фокусное расстояние | F1F2|=2с  Связь а, в, с а2+в2=с  35. Дать определение параболы, записать ее геометрическое и различные виды канонических  уравнений, изложить геометрические свойства. Записать различные координаты  фокуса и уравнения директрисы параболы в зависимости от расположения параболы в  системе координат. 

Параболой  называется множество точек плоскости равноудалённых от данной точки, называемой  фокусом и от данной прямой, называемой директрисой.  Расстояние от фокуса до директрисы называется  фокальным (р, р>0) параметром параболы.  |MF|=|MN| -- геометрическое уравнение параболы.  Каноническоеy² = 2pxили x² = 2py  Квадратное уравнение y = ax² + bx + c также  представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и y  = ax², но в отличие от последней имеет вершину не в начале  координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по  формулам:xa=-b/2a. ya=4ac-b2/4a  Она имеет ось симметрии,  называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна  директрисе.  Пучок лучей параллельных оси,  отражаясь в параболе собирается в её фокусе. Для параболы y²  = x фокус находится в точке (0,25; 0).  Если фокус параболы отразить  относительно касательной, то его образ будет  лежать на директрисе.  Парабола является антиподерой  прямой.  Все параболы подобны.  Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.  При вращении параболы вокруг  оси симметрии получается эллиптический параболоид.  36. Изложить способы заданияплоскости в  пространстве и вывести различные виды уравнений плоскости в зависимости от  способа ее задания.. 

Плоскостьв пространстве может быть задана:  1)  точкой и вектором перпендикулярным плоскости  2)  тремя точками  3)  отрезками, отсекаемыми плоскостями на осях координат  4)  точкой и двумя неколлинеарными векторами параллельными плоскости  Виды уравнений  плоскости в пространстве:  -1-)  QUOTE  -2-)  A(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0-- уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно  данному вектору.  -3-)  Aх+ Ву+ Сz+D=0-- общее уравнение плоскости  37. Разъяснить критерии определения взаимного расположения плоскостей в пространстве,  записать условия их параллельности и перпендикулярности. Записать формулу для  определения угла между плоскостями и расстояния от точки до плоскости. 

Взаимное  расположение плоскостей в пространстве:  Две  плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются, либо  перпендикулярны.  Условие  параллельности:  р₁//р₂ón1(вектор)↑↓n2(вектор) QUOTE óA1/A2=B1/B2=C1/C2 QUOTE  Условие  совпадения:  р₁=р₂ óA1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2 …. A1/A2 не равно B1/B2(В1/B2 не равно C1/C2 QUOTE ) QUOTE ó  пересекаются  Условие  перпендикулярности:  р1┴р2  тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные вектора  А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0  косинус острого угла между  плоскостями.  Пусть плоскостьП,задана уравнениемAx+By+Cz+D=0и дана точкаM_o(X_o;Y_o; Z_o) . Тогда расстояниеpот точкиM_oдо плоскостиП определяется по формуле  38. Изложить способы задания прямой в пространстве и вывести различные виды  уравнений прямой в пространстве в зависимости от способа ее задания. 

Прямаяв пространстве может быть задана:  1)  точкой и направляющим вектором  2)  двумя точками  3)пересечением  двух плоскостей  Уравнения:  QUOTE ; t∊R-- векторное уравнение прямой  x-x0/a1=y-y0/a2=z-z0/a3 --  каноническое уравнение прямой  x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1--  уравнение прямой по двум точкам  39. Разъяснить критерии взаимного расположения прямых в пространстве и записать  различные условия ихвзаимного  расположения. 

Взаимное расположение прямых на плоскости.  A₁/ A₂= B₁/ B₂ =C₁/ C₂ (две прямые  на плоскости либо пересекаются в одной точке либо совпадают либо параллельны)  Условия  параллельности совпадает с условием коллинеарности векторов: A₁/A₂= B₁/B₂=C₁/C₂  Условия  перпендикулярности равносильно условию перпендикулярности их направляющих  векторов a₁ a₂ A₁*A₂+ B₁*B₂+ C₁*C₂  40. Разъяснить критерии взаимного расположения прямой и плоскости. Дать определение  угла между прямой и плоскостью, расстояния от точки до плоскости, записать  соответствующие формулы.. 

Взаимное расположение прямой и плоскости определяется множеством решений линейной  системы  Углом  между прямой и плоскостью называется  любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Пусть плоскость задана  уравнением , а прямая - .  Пусть плоскостьП,задана уравнениемAx+By+Cz+D=0и дана точкаM_o(X_o;Y_o; Z_o) . Тогда расстояниеpот точкиM_oдо плоскостиП определяется по формуле