Р ешение

Для расчёта на устойчивость должна быть известна критическая сила для заданной стойки. Необходимо установить, по какой формуле следует вычислять критическую силу, т. е. надо сопоставить гибкость стойки с предельной гибкостью для её материала.

Вычисляем величину предельной гибкости, так как табличных данных о λ,_пред для материала стойки не имеется:

Для определения гибкости рассчитываемой стойки вычисляем геометрические характеристики ее поперечного сечения:

Определяем гибкость стойки:

и убеждаемся, что λ < λ_пред, т. е. критическую силу можно опреде­лить ею формуле Эйлера:

Вычисляем расчетный (действительный) коэффициент запаса устойчивости:

Таким образом, n_у > [n_у] на 5,2%.

Пример 2.87. Проверить на прочность и устойчи­вость заданную стержневую систему (рис. 2.86), Материал стержней — сталь Ст5 (σ_т = 280 Н/мм²). Требуемые коэффи­циенты запаса: прочности [n] = 1,8; устойчивости [n_у] = 2,2. Стержни имеют круглое поперечное сечение d₁ = d₂ = 20 мм, d₃ = 28 мм.

Решение

Вырезая узел, в котором сходятся стержни, и составляя уравнения равновесия для действующих на него сил (рис. 2.86)

устанавливаем, что заданная система статически неопре­делима (три неизвестных усилия и два уравнения ста­тики). Ясно, что для расчета стержней на прочность и устойчивость необходимо знать величины продольных сил, возникающих в их поперечных сечениях, т. е. нужно раскрыть статическую неопределимость.

Составляем уравнение перемещений на основе диа­граммы перемещений (рис. 2.87):

или, подставляя значения изменений длин стержней, по­лучаем

откуда

Решив это уравнение совместно с уравнениями ста­тики, найдем:

Напряжения в поперечных сечениях стержней 1 и 2 (см. рис. 2.86):

Их коэффициент запаса прочности

Для определения коэффициента запаса устойчивости стержня 3 надо вычислить критическую силу, а это тре­бует определения гибкости стержня, чтобы решить, какой формулой для нахождения N_Kp следует воспользоваться.

Итак, λ₀ < λ < λ_пред и крити­ческую силу следует определять по эмпирической формуле:

Коэффициент запаса устой­чивости

Таким образом, расчет пока­зывает, что коэффициент запаса устойчивости близок к требуемо­му, а коэффициент запаса проч­ности значительно выше требуемого, т. е. при увеличении нагрузки системы потеря устойчивости стержнем 3 вероят­нее, чем возникновение текучести в стержнях 1 и 2.

5