Напряжения

Метод сечений позволяет определить величину внутреннего си­лового фактора в сечении, но не дает возможности установить за­кон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочно­сти необходимо определить величину силы, приходящуюся на любую точку поперечного сечения.

Величину интенсивности внутренних сил в точке поперечного сечения называют механическим напряжением. Напряжение харак­теризует величину внутренней силы, приходящейся на единицу пло­щади поперечного сечения.

Рассмотрим брус, к которому приложена внешняя нагрузка (рис. 19.2). С помощью метода сечений рассечем брус поперечной плоскостью, отбросим левую часть и рассмотрим равновесие остав­шейся правой части. Выделим на секущей плоскости малую площад­ку ΔА. На этой площадке действует равнодействующая внутренних сил упругости.

Направление напряжения р_ср совпадает с направлением внутренней силы в этом сечении.

Вектор р_ср называют полным напряжени­ем. Его принято раскладывать на два вектора (рис. 19.3): τ — лежащий в площадке сечения и σ — направленный перпендикулярно площадке.

Если вектор ρ — пространственный, то его раскладывают на три составляю­щие:

Нормальное напряжение характеризует сопротивление сечения растяжению или сжатию.

Касательное напряжение характеризует сопротивление сечения сдвигу.

Сила N (продольная) вызывает появление нормального напря­жения σ. Силы Q_x и Q_y вызывают появление касательных напря­жений τ. Моменты изгибающие М_х и М_у вызывают появление нор­мальных напряжений σ, переменных по сечению.

Крутящий момент М_Z вызывает сдвиг сечения вокруг продоль­ной оси, поэтому появляются касательные напряжения τ.

Примеры решения задач п оследовательность построения эпюр продольных сил

1. Изобразить расчетную схему бруса и приложить заданные силы. При необ­ходимости определить опор­ную реакцию из уравнения равновесия.

2. Брус разбить на участ­ки соответственно точкам приложения сил.

3. Определить по методу сечений продольную силу для каждого участка.

4. Найденные величины продольных сил отложить в масштабе в виде ординат, перпендикулярных оси стерж­ня. Через концы ординат провести линии; проставить знаки и заштриховать эпю­ру параллельно ординатам

Пример 1. Определить величину продольной силы в сечении 1-1 (рис. 19.4).

Решение

Используем уравнение равновесия

Рассматривая левую часть бруса, определяем

Рассматривая правую часть бруса, определяем N_z1 = 23 — 14 = 9кН.

Величина продольной силы в сечении не зависит от того, какая часть бруса рассматривается.

Пример 2. Определить внутренний силовой фактор в сечении 1-1 (рис. 19.5а).

Р ешение

Рассматриваем правую часть бруса. На отсеченную часть бруса принято смотреть со стороны отброшенной части (рис. 19.5, б). Полу­чаем M_z = 246 – 40 – 16 = 190 кН • м.

Пример 3. Для бруса, изображенного на рис. 2.4, а, построить эпюру продольных сил.

Решение

З аданный брус имеет три участка 1, II, III (рис. 2.4, а). Границами участков при построении эпюры N являются сечения, в которых приложены внешние силы.

1. Проведем произвольное сечение аb на участке 1 и, отбросив левую часть бруса, рассмотрим равновесие пра­вой части, изображенной отдельно на рис. 2.4, б.

2. На оставленную часть действуют сила Р₁ и искомое усилие N₁. Проектируя на ось z силы, действующие на оставленную часть, получаем:

Значение получилось со знаком плюс, что указы­вает на совпадение ее предположительного (см. рис. 2.4, 6) направления с действительным. Сила направлена от сечения, т. е. участок I испытывает растяжение.

3. Проведем произвольное сечение cd на участке II, от­бросим левую часть бруса и рассмотрим равновесие оставленной (правой) части, изображенной отдельно на рис. 2.4, в. На оставленную часть действуют силы Р₁, Р₂ и искомое усилие N_II.. Проектируя эти силы на ось г, получаем

Сила N_II направлена от сечения, т. е. участок II испытывает растяжение.

4. П роведем произвольное сечение еf на участке III, от­бросим левую часть бруса и рассмотрим равновесие оставлен­ной (правой) части, изображенной отдель­но на рис. 2.4, г. На оставленную часть действуют силы Р₁, Р₂, Р₃ и искомое уси­лие N_III. Проекти­руя эти силы на ось z, получаем

Сила N_III направ­лена к сечению, т. е. участок III испыты­вает сжатие.

Напомним, что продольные силы, соответствующие растяжению, принято считать положительными, а соот­ветствующие сжатию — отрицательными.

Эпюра продольных сил показана на рис. 2.4, д.