Решение

На рис. 2.40, б изобра­жен вал I. На него поступает мощность N и с него снимаются мощности N_l, N₂, N₃.

Определим угло­вую скорость враще­ния вала 1 и внешние скручивающие момен­ты m, m₁, т₂, т₃:

Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие N₃ и N₁, по­ложительными, а N — отрицательным. Расчетный (макси­мальный) крутящий момент N_x¹ _max = 354,5 H_*м.

Диаметр вала 1 из условия прочности

Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)

Окончательно принимаем с округлением до стандарт­ного значения d₁ = 58 мм.

Частота вращения вала 2

На рис. 2.40, г изображен вал 2; на вал поступает мощность N₁, а снимаются с него мощности N₄, N₅, N₆.

Вычислим внешние скручивающие моменты:

Эпюра крутящих моментов для вала 2 показана на рис. 2.40, д. Расчетный (максимальный) крутящий момент М_{я max}" = 470 H-м.

Диаметр вала 2 из условия прочности

Диаметр вала 2 из условия жесткости

Окончательно принимаем d₂=62 мм.

Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N (рис. 2.41, а), которую может передать стальной вал диаметром d = 50 мм, если [т_к] = 35 Н/мм², [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I0⁴ Н/мм², n = 600 об/мин.

Р ешение

Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:

где

Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б.

На рис. 2.41, в пред­ставлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (мак­симальный) крутящий мо­мент M_z = 9,54N. Условие прочности

откуда

Условие жесткости

откуда

Лимитирующим является условие жесткости. Следо­вательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.

Лекция 28 Тема 2.5. Кручение. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Иметь представление о рациональных формах поперечного се­чения и рациональном расположении колес на валу.

Знать условия прочности и жесткости при кручении.

Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем.

Примеры решения задач

П ример 1. Для заданного бруса (рис. 28.1) построить эпюры крутящих моментов, рациональным расположением шкивов на валу добиться уменьшения значения максимального крутящего момента. Построить эпюру крутящих моментов при рациональном располо­жении шкивов.

Из условия прочности определить диаметры вала для сплошного и кольцевого сечений, приняв

Сравнить результаты по полученным площадям поперечных сечений.

Решение

1. Пользуясь методом сечений, определяем крутящие моменты на участках вала (рис. 28.2).

2. Строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих мо­ментов откладываем вниз от оси, т. к. моменты отрицательные.

Максимальное значение крутящего момента на валу в этом слу­чае 1000Н*м (рис. 28.1).

3. Выберем рациональное расположение колес на валу. Наиболее целесообразно такое размещение колес, при котором наибольшие положительные и отрицательные значения крутящих моментов на участках будут по возмож­ности одинаковыми. Из этих соображений ведущий шкив, передающий момент 1000 Н*м, помещаем ближе к центру вала, ведомые шкивы 1 и 2 размещаем слева от ведущего с мо­ментом 1000 Н*м, шкив 3 остается на том же месте. Строим эпюру крутящих моментов при выбранном расположении шкива (рис. 28.3).

М аксимальное значение крутящего момента на валу при вы­бранном расположении колес на валу 600 Н*м.

4. Определяем диаметры вала по сечениям при условии, что се­чение — круг.

Условие прочности при кручении

Момент сопротивления кручению

Определяем диаметры вала по сечениям:

Округляем полученные значения: d₁ = 40 мм; d₂ = 45 мм; d₃ = 35 мм.

5. Определяем диаметры вала по сечениям при условии, что се­чение — кольцо.

Моменты сопротивления, полученные выше из условий прочно­сти, остаются теми же. По условию

Полярный момент сопротивления кольца

Формула для определения наружного диаметра вала кольцевого сечения будет следующей:

Расчет можно провести по формуле

Диаметры вала по сечениям:

Наружные диаметры вала кольцевого сечения практически не изменились.

Для кольцевого сечения: d₁ = 40 мм; d'₂ = 46 мм; d'₃ = 35 мм.

6. Для вывода об экономии металла при переходе на кольцевое сечение сравним площади сечений (рис. 28.4).

При условии, что сечение — круг (рис. 28.4а):

Сплошное круглое сечение:

При условии, что сечение — кольцо, с = d_BH/d₁ = 0,5 (рис. 28.4 б):

Кольцевое сечение:

Сравнительная оценка результатов:

Следовательно, при переходе с кругового на кольцевое сечение экономия металла по весу составит 1,3 раза.

Пример 2. Стальной вал диаметром 40 мм передает мощность 15кВт при угловой скорости 80рад/с (рис. 28.5); проверить проч­ность и жесткость вала, если допускаемое напряжение кручения 20 МПа. Модуль упругости при сдвиге 0,8 • 10⁵ МПа. Допускаемый угол закручивания [φ₀] = 0,6 град/м. Построить эпюру касательных напряжений и определить значение касательного напряжения в точ­ке, удаленной на 5 мм от оси вала.