Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, б. Очевидно,

откуда

Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d₀ = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм². Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в. Очевидно,

Откуда

Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d₀ = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент М_z = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.

Решение

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле

В рассматриваемом примере М_z = 3 кН-м = 3-10⁶ Н• мм,

Подставляя числовые значения, получаем

Пример 5. Стальная труба (d₀ = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т, приложенными в ее торцевых сечениях. Определить ве­личину т, при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.

Решение

Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле

тогда

В данном случае

Подставляя числовые значения, получаем

Вычисляем максимальные касательные напряжения:

П ример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а) построить эпюры крутящих моментов, максимальных каса­тельных напряжений, углов поворота поперечных сечений.

Решение

Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скру­чивающие) моменты и места изменения размеров попереч­ного сечения.

Пользуясь соотношением

строим эпюру крутящих моментов.

Построение эпюры М_z начинаем со свободного конца бруса:

для участков III и IV

для участка V

Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б. Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τ_шах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I

на участке II

на участке III

на участке IV

на участке V

Эпюра максимальных касательных напряжений пока­зана на рис. 2.38, в.

Угол поворота поперечного сечения бруса при посто­янных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле

Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φ_л = 0, так как в этом сечении брус закреплен.

Эпюра углов поворота поперечных сечений изображе­на на рис. 2.38, г.

Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.39, а) передается от двигателя мощность N_B = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности N_A = 15 кВт и N_C = 21 кВт. Час­тота вращения вала п = 300 об/мин. Про­верить прочность и жесткость вала, если [τ_KJ = 30 Н/мм², [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-10⁴ Н/мм², d₁ = 45 мм, d₂ = 50 мм.

Р ешение

Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:

где

Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответ­ствующий N_А, положительным, N_c — отрицательным. Эпюра M_z показана на рис. 2.39, б. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ

что меньше [т_к] на

Относительный угол закручивания участка АВ

что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.

Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС

что меньше [т_к] на

Относительный угол закручивания участка ВС

что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.

Следовательно, прочность вала обеспечена, а жест­кость — нет.

Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 по­ступает на вал 2 мощность N₁ = 15 кВт и к рабочим ма­шинам — мощности N₂ = 2 кВт и N₃ = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N₄ = 7 кВт, N₅ = 4 кВт, N₆ = 4 кВт (рис. 2.40, а). Определить диаметры валов d₁ и d₂ из условия прочности и жесткости, если [τ_KJ = 25 Н/мм², [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-10⁴ Н/мм². Се­чения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D₁ = 200 мм, D₂ = 400 мм, D₃ = 200 мм, D₄ = 600 мм. Сколь­жением в ременной передаче пренебречь.