Максимальные напряжения при кручении

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρ_тах = d/2, где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывает­ся по формуле (см. лекцию 25).

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

Обычно J_P/p_max обозначают W_p и называют моментом сопро­тивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения

Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу

Для круглого сечения

Для кольцевого сечения

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности

где [τ_к] — допускаемое напряжение кручения.

Виды расчетов на прочность

Существует два вида расчета на прочность.

1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

Откуда

1. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности

3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)

Расчет на жесткость

П ри расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

При кручении деформация оцени­вается углом закручивания (см. лекцию 26):

Здесь φ — угол закручивания; γ — угол сдвига; l — длина бруса; R — радиус; R =d/2. Откуда

Закон Гука имеет вид τ_к = G_γ. Подставим выражение для γ, получим

Откуда

Произведение GJ_P называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G = 0,4Е. Для стали G = 0,8 • 10⁵ МПа.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φ_o.

Условие жесткости при кручении можно записать в виде

где φ_o — относительный угол закручивания, φ_о = φ/l; [φ_о] ≈ 1град/м = 0,02рад/м — допускаемый относительный угол закручивания.

Примеры решения задач

Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φ_о] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 10⁵ МПа.

Решение

1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении:

Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:

Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении

Значения подставляем в ньютонах и мм.

Определяем диаметр вала:

2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.

Условие жесткости при кручении:

Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:

Определяем диаметр вала:

3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд пред­почтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение d_вала = 75 мм.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стан­дартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.

Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τ_тах = 40 Н/мм². Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.