
Решение
Sx = Ayс = 20 * 14 * 7 = 1960 см3,
Sy = Axc = 20 * 14 * 10 = 2800 см3, так как центр тяжести С прямоугольника лежит на пересечении его диагоналей и имеет координаты хс = b/2 = 10 см и yc = h/2 = 7 см.
Из равенства
следует важное свойство статического момента:
статический момент плоской фигуры относительно центральной оси равен нулю.
Действительно, если в примере начало осей координат поместить в точке С (рис. 1.85, б), то при любом положении осей х и у каждая из них будет центральной и в этом случае хс=0, ус=0. Значит, Sx = 0, Sy = 0.
Определение координат центра тяжести плоских фигур
Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — квадрат, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).
Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.
Центр тяжести стержня находится на середине высоты. При решении задач используются следующие методы:
метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур находится на оси симметрии;
метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко определить;
метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.
Примеры решения задач
Пример 1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.
Решение
Р
азбиваем
фигуру на три части:
Аналогично определяется уС = 4,5 см.
П
ример
2. Найти положение центра тяжести
симметричной стержневой фермы ADBE
(рис. 116), размеры которой таковы: АВ
= 6м, DE = 3 м и
EF = 1 м.
Решение
Так как ферма симметричная, то ее центр тяжести лежит на оси симметрии DF. При выбранной (рис. 116) системе координатных осей абсцисса центра тяжести фермы
Неизвестной, следовательно, является лишь ордината уС центра тяжести фермы. Для ее определения разбиваем ферму на отдельные части (стержни). Длины их определяются из соответствующих треугольников.
Из ΔAEF имеем
Из ΔADF имеем
Центр тяжести каждого стержня лежит в его середине, координаты этих центров легко определяются из чертежа (рис. 116).
Найденные длины и ординаты центров тяжести отдельных частей фермы заносим в таблицу и по формуле
определяем ординату у с центра тяжести данной плоской фермы.
Следовательно, центр тяжести С всей фермы лежит на оси DF симметрии фермы на расстоянии 1,59 м от точки F.
П
ример
3. Определить координаты центра тяжести
составного сечения. Сечение состоит из
листа и прокатных профилей (рис. 8.5).
Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.
Для стандартных прокатных профилей собственные геометрические характеристики известны. Они приводятся в соответствующих стандартах.
Решение
Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необходимые данные:
— швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота h = 100 мм; ширина полки b = 46 мм; площадь сечения А1 = 10,9 см2;
— двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81 мм; площадь сечения А2 — 20,2 см2;
— лист 5x100; толщина 5 мм; ширина 100мм; площадь сечения A3 = 0,5 • 10 = 5 см2.
Координаты центров тяжести каждой фигуры можно определить по чертежу.
Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата хС = 0.
Определение центра тяжести составного сечения:
Пример 4. Определить координаты центра тяжести сечения, показанного на рис. 8, а. Сечение состоит из двух уголков 56x4 и швеллера № 18. Выполнить проверку правильности определения положения центра тяжести. Указать его положение на сечении.