41. Дать определение числовойпоследовательности,изложить ее свойства. Перечислить виды последовательностей. И способы задания числовой последовательности.

Числовая  последовательность – это числовая функция, заданная на множестве натуральных  чисел.  Задать  последовательность означает задать правило, по которому каждому номеру из ряда  натуральных чисел соответствует одно и только одно действительное число.  Способы  задания последовательности:  1)  формулой общего члена  2)  рекуррентной формулой  3)  словесным описанием  4)  графически  5)  точками на числовой оси  Свойства  числовых последовательностей:  1)  монотонность  Последовательность  называется возрастающей (убывающей), если каждый её член начиная со второго  больше (меньше) предыдущего.  2)  ограниченность  Последовательность  называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.  Последовательность  {Xn} называется ограниченной сверху  (снизу), если существует число M (m) такое, что выполняется неравенство  Xn≤М (Xn≥m).  42. Дать определение арифметической прогрессия и изложить ее свойства 

Арифметическая прогрессия - Это  последовательность, всякий член которой, начиная со второго, равен предыдущему,  сложенному с постоянным числом. х_n+1=х_n+d  Если шаг d > 0,  прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.  Любой член арифметической  прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и  следующего члена прогрессии:  .  Сумма n первых членов арифметической прогрессии  может быть выражена формулами  Сумма n последовательных членов арифметической  прогрессии начиная с члена k:  Пример суммы арифметической прогрессии является сумма  ряда натуральных чисел до n включительно:  43..Дать определение геометрической прогрессия и  изложить ее свойства. 

Геометрическая - это последовательность, всякий член которой, начиная со  второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное число. х_n+1=х_n+q  Произведение первых n членов геометрической прогрессии  можно рассчитать по формуле:  ,  Произведение членов геометрической прогрессии начиная  с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:  Сумма n первых членов геометрической  прогрессии:  , при  , при  Если , то при , и  при .  44. Дать понятие предела последовательности. Изложить критерий Коши и  Сформулировать теоремы о свойствах предела последовательности. 

. Конечное число а  называется пределом числовой  последовательности {х_n}, если для любого > 0 (сколь угодно малого) существует число  N = N() такое, что |х_n - а| N.  Обозначение: = а.