4. Вероятность события.

Замечательный экспериментальный факт — основная закономерность, наблюдаемая в массовых случайных явлениях, — устойчивость частот событий при большом числе опытов.

Если при малом числе опытов частота события принимает со­вершенно случайно различные значения, то при неограпичеппом уве­личении числа опытов она проявляет тенденцию стабилизироваться около некоторого характерного для данного события значения.

Допустим, что некоторый опыт неограниченно повторяется и после каждого опыта вычисляется частота события с учетом всех уже произведенных опытов.

При этом обнаруживается, что вначале, когда число произведенных опытов мало, случайный результат каждого опыта существенно изменяет частоту события.

Однако но мере возрас­тания числа опытов влияние результата каждого нового опыта умень­шается. Так, например, результат тысячного опыта изменяет частоту меньше, чем на 0,001. Частота как бы стремится перестать быть слу­чайной и стабилизироваться около некоторого значения.

Устойчивость частот событий дает основание считать, что с каж­дым событием связано некоторое число — вероятность этого собы­тия, — около которого стремится стабилизироваться его частота.

Так, нанример, частота появления герба при бросании монеты, очевидно, должна стабилизироваться около 1/2. Следовательно, вероятность по­явления герба равна 1 /2.

Вероятность события А обозначается Р{А). Это, конечно, не ис­ключает применения сокращенных обозначений, например Р{А) = р и т.п.

Понятие вероятности события является первичным в теории ве­роятностей и поэтому не нуждается в определении. Оно представ­ляет собой результат абстракции, необходимой для построения лю­бой теории. Отвлекаясь от сложных и несуществеппых колебаний частоты при неограпичеппом повторении опытов и оставляя основ­ную, существенную закономерность, наблюдаемую в данном явле­нии, — устойчивость частоты, — мы и вводим абстрактное понятие вероятности события.

Вероятность события в данном опыте — его объективная харак­теристика. Она имеет вполне определенное значение независимо от того, собираемся мы производить опыты или нет.

5. Выборочное среднее.

Основная задача эксперименталь­ного изучения случайных величин состоит в том, чтобы установить, как распределяются экспериментальные точки на числовой оси, на плоскости или в пространстве.

Совокупность значений наблюдаемых величин, полученных в ре­зультате опытов, называется выборкой.

Получив выборку, необходимо прежде всего определить положе­ние значений случайной величины на числовой прямой и их рассеи­вание, т.е. размеры занимаемой ими области.

За характеристику положения экспериментальных точек обычно принимают среднее арифметическое значение случайной величины, называемое выборочным средним. Предположим, что случайная ве­личина X приняла в результате п опытов значения х₁, … , х_{n .}

Тогда выборочное среднее определяется формулой

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

_n

М(Х)=∑ x_iр_{i =} x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

i=1