Обратная задача Мора

Обратная задача Мора состоит в определении главных напряжений по известным напряжениям на произвольной площадке. Рассмотрим её на конкретном примере.

Задача.

Определить главные напряжения в опасной точке стержня, подвергающегося совместному действию изгиба и кручения:

Построив эпюры внутренних силовых факторов, заключаем, что опасным сечением стержня является сечение заделки, в котором действует наибольший по величине изгибающий момент M_x.

Для нахождения опасной точки в опасном сечении рассмотрим распределение нормальных и касательных напряжений по опасному сечению:

В данном случае имеется две равноопасные точки – B и C, в которых действуют максимальные нормальные и касательные напряжения, одинаковые по величине, но разные по направлению. Рассмотрим напряженное состояние в точке В, выделив в её окрестности элементарный объем и расставив вектора напряжений и на его гранях.

Величины напряжений и можно определить по формулам:

,

.

Рассмотрим выделенный куб со стороны грани, свободной от напряжений (сверху):

Обозначим две взаимно перпендикулярные площадки  и . На площадке  действуют нормальное и касательное напряжение . На площадке  действуют только касательное напряжение  (согласно закону парности касательных напряжений).

Порядок построения круга Мора:

1. В системе координат  нанести точки с координатами (_, _) и (_, _). При этом нормальное напряжение считается положительным, если оно вызывает растяжение, а касательное – если оно действует по часовой стрелке относительно центра элемента.

2. Соединить полученные точки D_ и D_ отрезком. Точка пересечения этого отрезка с осью абсцисс O является центром круга Мора.

3. Построить окружность с центром в точке O и радиусом OD_. Координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс дают величины главных напряжений (в нашем случае _, и _).

4. Пересечение площадок  (горизонталь) и  (вертикаль) дает положение полюса площадок круга Мора P_пл (точка, в которой пересекаются все площадки).

5. Провести из полюса P_пл лучи через точки (_, 0) и (_ , 0). Эти лучи задают положение главных площадок.

Наносим положение главных площадок и направление главных напряжений на рассматриваемую площадку:

Радиус круга Мора

,

тогда главные напряжения

,

.

7.2.Теории предельного состояния

7.2.1.Назначение теорий предельного состояния

Для того чтобы сравнивать два неодинаковых напряженных состояния, введем для них некоторые характеристики.

1. Напряженные состояния подобны (однотипны), если их главные напряжения пропорциональны. Значит, два напряженных состояния однотипны, если

2. Напряженное состояние, при котором наступает недопустимый процесс (для хрупких материалов – разрушение, а для пластичных – появление недопустимых остаточных деформаций), называется предельным (опасным) напряженным состоянием. Произвольное напряженное состояние можно довести до предельного путем пропорционального и одновременного увеличения его главных напряжений. Обозначим – главные напряжения предельного напряженного состояния.

3. Запасом прочности n данного напряженного состояния называется число, показывающее, во сколько раз одновременно и пропорционально надо увеличить его главные напряжения, чтобы оно стало предельным:

(8.6)

4. Напряженные состояния элементов из одного и того же материала равнопрочны, если у них равны запасы прочности.

Для определения запаса прочности любого напряженного состояния по (8.6) надо знать значения главных напряжений предельного напряженного состояния, ему подобного, которые могут быть найдены только экспериментально.

Практически этого сделать нельзя по двум основным причинам:

– во-первых, в настоящее время отсутствуют машины, позволяющие создавать произвольные напряженные состояния;

– во-вторых, если бы такие машины и были, то невозможно провести неограниченно большое число опытов по определению значений главных напряжений предельных напряженных состояний при их произвольном отношении:

и

Поэтому о прочности данного напряженного состояния судят по прочности напряженного состояния, ему не подобного, путем высказывания предположения об их равнопрочности.

Предположение о равнопрочности разнотипных напряженных состояний называется теорией или гипотезой прочности.

Обычно данное напряженное состояние сравнивают с одноосным растяжением, для которого значения предельных механических характеристик материала и определяются просто.

Одноосное напряженное состояние, равнопрочное данному, называется эквивалентным. Обозначим – главное напряжение эквивалентного напряженного состояния.

На основании сформулированного предположения (критерия) равнопрочности устанавливается зависимость между и :

Опасной называется точка элемента системы, в которой по одной из теорий прочности достигает наибольшего значения, и условие прочности тогда можно записать в виде:

Сформулировать универсальный критерий равнопрочности, учитывающий всю совокупность причин, практически влияющих на прочность (тип напряженного состояния, состояние материала, характер действия на тело внешних факторов) до сих пор не удалось. Поэтому, в настоящее время при расчете на прочность используется несколько теорий прочности, взаимно дополняющих друг друга. Теории прочности, объясняющие возникновение предельного состояния разрушением, называются теориями хрупкого разрушения, а объясняющие его возникновение появлением недопустимых пластических деформаций – теориями пластичности.

Рассмотрим классические теории предельного состояния, высказывающие гипотезы о характере функции .