
- •Конспект лекций по дисциплине «Сопротивление материалов»
- •Часть II
- •Установочная лекция к модулю №7 «Статически неопределимые системы. Метод сил. Приложение к трем простым видам деформации: растяжение-сжатие, изгиб, кручение»
- •7.1.Понятие статической неопределимости
- •7.2.Метод сил
- •Алгоритм метода сил
- •1. Образование основной системы.
- •2. Образование эквивалентной системы.
- •3. Запись условия эквивалентности.
- •4. Определение коэффициентов системы канонических уравнений метода сил.
- •5. Решение скумс относительно неизвестных.
- •6. Построение эпюр всф.
- •7. Деформационная проверка правильности раскрытия статической неопределимости.
- •7.3.Учет влияния температуры и неточности изготовления элементов
- •7.4.Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •Установочная лекция к модулю №8 «Основы теории напряженно-деформированного состояния. Теории предельного состояния. Общий случай нагружения»
- •7.1.Основы теории напряженно-деформированного состояния в точке
- •7.1.1.Понятие о напряженном состоянии в точке
- •7.1.2.Определение напряжений на произвольной площадке
- •7.1.3.Главные оси и главные напряжения
- •Классификация напряженных состояний в точке
- •Эллипсоид напряжений
- •7.1.4.Понятие о деформированном состоянии
- •7.1.5.Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния
- •7.1.6.Потенциальная энергия деформации для случая объемного напряженного состояния
- •7.1.7.Решение плоской задачи о.К. Мора Прямая задача Мора
- •Обратная задача Мора
- •7.2.Теории предельного состояния
- •7.2.1.Назначение теорий предельного состояния
- •7.2.2.Теории хрупкого разрушения
- •7.2.3.Теории пластичности
- •7.2.4.Универсальная теория Мора
- •7.3.Общий случай нагружения
- •Алгоритм расчета на прочность
- •1. Определение положения опасного сечения.
- •2. Определение вида деформации в опасном сечении.
- •3. Определение положения опасной точки в опасном сечении.
- •4. Определение вида напряженного состояния в опасных точках.
- •5. Вычисление эквивалентного напряжения в опасных точках.
- •6. Запись условия прочности в наиболее опасной точке
- •Установочная лекция к модулю №9 «Устойчивость сжатых стержней»
- •7.4.Понятие об устойчивости. Основные виды потери устойчивости
- •Основные виды потери устойчивости
- •7.5.Задача Эйлера
- •7.6.Влияние условий закрепления на величину критической силы
- •7.7.Условие равноустойчивости
- •7.8.Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского
- •7.9.Коэффициент запаса по устойчивости. Виды расчета на устойчивость
- •Алгоритм поверочного расчета
- •Алгоритм проектировочного расчета
- •Установочная лекция к модулю №10 «Выносливость»
- •7.10.Понятие об усталости и выносливости
- •7.11.Характеристики цикла напряжений
- •7.12.Предел выносливости
- •7.13.Диаграмма предельных амплитуд
- •7.14.Влияние различных факторов на предел выносливости
- •7.14.1.Влияние концентрации напряжений
- •7.14.2.Влияние размеров изделия
- •7.14.3.Влияние состояния поверхности
- •7.14.4.Эксплуатационные факторы
- •7.14.5.Совместное влияние всех факторов
- •7.15.Расчет на прочность при переменном изгибе и кручении
- •7.16.Расчет на циклическую прочность в условиях сложного напряженного состояния Теоретический подход
- •Эмпирический подход
- •7.17.Алгоритм поверочного расчета на усталость
- •Установочная лекция к модулю №11 «Колебания. Удар»
- •7.18.Основы теории колебаний
- •7.18.1.Классификация механических колебаний
- •7.18.2.Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы
- •7.18.3.Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления
- •7.18.4.Вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы
- •7.19.Удар
- •7.19.1.Теория удара Лепина
- •7.19.2.Частные случаи удара
- •7.19.3.Расчет на прочность и жесткость при ударе
- •Алгоритм расчета на прочность и жесткость при ударе
- •Конспект лекций по дисциплине «Сопротивление материалов»
- •Часть II
7.1.4.Понятие о деформированном состоянии
Деформированным состоянием в точке называется совокупность деформаций, возникающих в различных направлениях и различных плоскостях, проходящих через данную точку.
Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях объемного напряженного состояния.
Под действием напряжений этот объем деформируется. В результате, каждая грань изменяет свои размеры в направлении координатных осей и может получить угловую деформацию. Так, например, передняя грань принимает вид:
Таким образом, в
направлении оси z
элементарный размер dz
грани получит относительную деформацию
,
а в направлении оси x
элементарный размер dx
изменится на величину
.
Угол между ребрами грани изменится на
величину
.
Подобные деформации получат и остальные грани элементарного объема. Тогда деформированное состояние в точке определится тензором деформаций:
,
где линейные деформации
,
,
и угловые деформации
,
,
.
Свойства
деформированного состояния аналогичны
свойствам напряженного состояния, в
частности, можно выделить три взаимно
перпендикулярные оси, в системе которых
угловые деформации отсутствуют. Линейные
деформации, возникающие в этой системе
координат, называются главными
деформациями.
Главные деформации нумеруют в порядке
убывания
.
Различают линейное, плоское и объемное деформированные состояния.
линейное плоское объемное
Площадки главных напряжений и главных деформаций для линейно-упругого изотропного тела совпадают.
7.1.5.Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния
Рассмотрим элементарный объем линейно-упругого изотропного тела, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем касательные напряжения на его гранях отсутствуют:
Таким
образом, координатные грани элементарного
объема являются главными
площадками,
координатные оси x,
y,
z
– главными
осями,
нормальные напряжения, действующие на
главных площадках – главными
напряжениями
и, соответственно, линейные относительные
деформации в направлении главных осей
– главными
деформациями
.
По направлению осей x, y, z возникают абсолютные деформации a, b, c.
Величина
главной относительной деформации в
направлении оси z:
.
Напряжение σ1 приводит к увеличению c, и по закону Гука
.
Напряжения σ2 и σ3 работают на увеличение a и b и вызывают уменьшение c, то есть, используя закон Гука и коэффициент поперечной деформации,
,
.
Применяя принцип суперпозиции, находим
.
Расписывая
аналогичным образом главные деформации
и
,
окончательно получим:
,
.
Полученные зависимости представляют собой обобщенный закон Гука в главной системе координат.
Проводя такие же рассуждения для элементарного объема, грани которого не являются главными площадками, получим обобщенный закон Гука в произвольной системе координат:
,
.
7.1.6.Потенциальная энергия деформации для случая объемного напряженного состояния
Потенциальную энергию деформации в общем случае можно представить состоящей из потенциальной энергии, связанной с изменением объема и с изменением формы:
,
где UV - потенциальная энергия изменения объема:
,
Uф - потенциальная энергия изменения формы:
.
(8.1)