7.4.Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости

Определим, прежде всего, для статически неопределимых систем следующие виды симметрии:

1. Симметричная система с симметричной нагрузкой:

Здесь и сама система и приложенная к ней нагрузка зеркально симметричны относительно оси симметрии у.

1. Симметричная система с кососимметричной нагрузкой:

Здесь, в отличие от предыдущего случая, при зеркальной симметрии относительно оси у, направление приложенных сил получается противоположное.

2. Кососимметричная система с симметричной нагрузкой:

Здесь, при повороте одной половины системы относительно центра симметрии О на , она полностью совпадает со второй своей половиной. Направление сил при этом тоже совпадает.

3. Кососимметричная система с кососимметричной нагрузкой:

Здесь, в отличие от предыдущего случая, при повороте на половинки системы совпадают, но направление сил получается противоположное.

Для статически неопределимых систем, обладающих одним из перечисленных видов симметрии, процесс раскрытия статической неопределимости существенно упрощается, если рассматривать саму систему как внутренне статически неопределимую. Для этого необходимо образовать основную систему путем разрезания исходной системы по оси или по центру симметрии на две статически определимых системы.

Проследим применение алгоритма метода сил на примере симметричной системы с симметричной нагрузкой.

Исходная система:

Основная система:

Эквивалентная система:

При таком выборе основной системы в качестве «лишних» неизвестных выступают внутренние силовые факторы в проведенном сечении, причем, продольная сила Х₁ и изгибающий момент Х₃ – симметричные ВСФ, а поперечная сила Х₂ – кососимметричный внутренний силовой фактор.

Построим вспомогательные эпюры: грузовую и единичные.

Грузовая эпюра М_F:

симметричная эпюра

Единичные эпюры M₁, М₂ и М₃:

симметричная эпюра

кососимметричная эпюра

симметричная эпюра

Эпюры M₁, М₃ и М_F, построенные от действия симметричных силовых факторов являются симметричными эпюрами, а эпюра М₂, построенная от действия кососимметричного силового фактора, является кососимметричной эпюрой.

Очевидно, что коэффициенты СКУМС, полученные путем «перемножения» симметричной эпюры на кососимметричную, равны нулю, т.е. . Тогда система канонических уравнений метода сил примет следующий вид:

Эта система трех уравнений с тремя неизвестными распадается на две более простые подсистемы, решить которые существенно проще:

Таким образом, учет симметрии понижает степень статической неопределимости.

Установочная лекция к модулю №8 «Основы теории напряженно-деформированного состояния. Теории предельного состояния. Общий случай нагружения»

7.1.Основы теории напряженно-деформированного состояния в точке

7.1.1.Понятие о напряженном состоянии в точке

Напряженным состоянием в точке называется совокупность напряжений, действующих на всех возможных площадках, которые можно провести через эту точку.

Рассмотрим тело произвольной формы, нагруженное самоуравновешенной системой сил .

Попробуем охарактеризовать напряженное состояние в произвольной точке С тела. С этой целью, выделим в окрестностях этой точки элементарный объём в виде куба с бесконечно малыми гранями. На каждой грани куба действуют внутренние силы, которые представим в виде трех составляющих вектора полного напряжения:

На невидимых гранях куба действуют такие же по величине, но противоположные по направлению напряжения. Полученные девять напряжений, называемых компонентами напряженного состояния, образуют так называемый тензор напряжений:

,

в котором, в соответствии с законом парности касательных напряжений,

Таким образом, напряженное состояние в точке в общем случае нагружения может быть охарактеризовано шестью компонентами напряжений: тремя нормальными и тремя касательными.