
- •Конспект лекций по дисциплине «Сопротивление материалов»
- •Часть II
- •Установочная лекция к модулю №7 «Статически неопределимые системы. Метод сил. Приложение к трем простым видам деформации: растяжение-сжатие, изгиб, кручение»
- •7.1.Понятие статической неопределимости
- •7.2.Метод сил
- •Алгоритм метода сил
- •1. Образование основной системы.
- •2. Образование эквивалентной системы.
- •3. Запись условия эквивалентности.
- •4. Определение коэффициентов системы канонических уравнений метода сил.
- •5. Решение скумс относительно неизвестных.
- •6. Построение эпюр всф.
- •7. Деформационная проверка правильности раскрытия статической неопределимости.
- •7.3.Учет влияния температуры и неточности изготовления элементов
- •7.4.Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости
- •Установочная лекция к модулю №8 «Основы теории напряженно-деформированного состояния. Теории предельного состояния. Общий случай нагружения»
- •7.1.Основы теории напряженно-деформированного состояния в точке
- •7.1.1.Понятие о напряженном состоянии в точке
- •7.1.2.Определение напряжений на произвольной площадке
- •7.1.3.Главные оси и главные напряжения
- •Классификация напряженных состояний в точке
- •Эллипсоид напряжений
- •7.1.4.Понятие о деформированном состоянии
- •7.1.5.Обобщенный закон Гука для случая объемного напряженного состояния
- •7.1.6.Потенциальная энергия деформации для случая объемного напряженного состояния
- •7.1.7.Решение плоской задачи о.К. Мора Прямая задача Мора
- •Обратная задача Мора
- •7.2.Теории предельного состояния
- •7.2.1.Назначение теорий предельного состояния
- •7.2.2.Теории хрупкого разрушения
- •7.2.3.Теории пластичности
- •7.2.4.Универсальная теория Мора
- •7.3.Общий случай нагружения
- •Алгоритм расчета на прочность
- •1. Определение положения опасного сечения.
- •2. Определение вида деформации в опасном сечении.
- •3. Определение положения опасной точки в опасном сечении.
- •4. Определение вида напряженного состояния в опасных точках.
- •5. Вычисление эквивалентного напряжения в опасных точках.
- •6. Запись условия прочности в наиболее опасной точке
- •Установочная лекция к модулю №9 «Устойчивость сжатых стержней»
- •7.4.Понятие об устойчивости. Основные виды потери устойчивости
- •Основные виды потери устойчивости
- •7.5.Задача Эйлера
- •7.6.Влияние условий закрепления на величину критической силы
- •7.7.Условие равноустойчивости
- •7.8.Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского
- •7.9.Коэффициент запаса по устойчивости. Виды расчета на устойчивость
- •Алгоритм поверочного расчета
- •Алгоритм проектировочного расчета
- •Установочная лекция к модулю №10 «Выносливость»
- •7.10.Понятие об усталости и выносливости
- •7.11.Характеристики цикла напряжений
- •7.12.Предел выносливости
- •7.13.Диаграмма предельных амплитуд
- •7.14.Влияние различных факторов на предел выносливости
- •7.14.1.Влияние концентрации напряжений
- •7.14.2.Влияние размеров изделия
- •7.14.3.Влияние состояния поверхности
- •7.14.4.Эксплуатационные факторы
- •7.14.5.Совместное влияние всех факторов
- •7.15.Расчет на прочность при переменном изгибе и кручении
- •7.16.Расчет на циклическую прочность в условиях сложного напряженного состояния Теоретический подход
- •Эмпирический подход
- •7.17.Алгоритм поверочного расчета на усталость
- •Установочная лекция к модулю №11 «Колебания. Удар»
- •7.18.Основы теории колебаний
- •7.18.1.Классификация механических колебаний
- •7.18.2.Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы
- •7.18.3.Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы с учетом сил сопротивления
- •7.18.4.Вынужденные колебания упругой системы с одной степенью свободы
- •7.19.Удар
- •7.19.1.Теория удара Лепина
- •7.19.2.Частные случаи удара
- •7.19.3.Расчет на прочность и жесткость при ударе
- •Алгоритм расчета на прочность и жесткость при ударе
- •Конспект лекций по дисциплине «Сопротивление материалов»
- •Часть II
7.3.Учет влияния температуры и неточности изготовления элементов
Кроме внешнего силового воздействия на конструкцию может воздействовать температура (нагрев или охлаждение в ходе эксплуатации), а рабочие элементы могут иметь неточность изготовления, приводящую уже при сборке статически-неопределимой конструкции к созданию так называемых монтажных напряжений. Даже не столь существенное изменение температуры и небольшие монтажные зазоры могут существенно сказаться после нагружения конструкции внешней силой, так как при однознаковых напряжениях от всех воздействующих факторов можно получить недопустимые совокупные напряжения в рабочих элементах конструкции.
Учесть температурный и монтажный фактор можно при раскрытии статической неопределимости, включив температурный коэффициент и неточность изготовления лишних элементов в уравнения СКУМС:
,
где
– перемещение i-той
раскрепленной точки системы под действием
перепада температуры
.
С помощью интеграла Мора его можно
определить как:
(случай
деформации: растяжение-сжатие),
где
– коэффициент линейного расширения
материала k-того
рабочего элемента;
– перепад температуры, испытываемый
k-тым
рабочим стержнем;
– внутренняя продольная сила, возникающая
на k-том
рабочем элементе основной системы под
воздействием единичной силы, приложенной
к i-той
раскрепленной точке в направлении
отброшенной связи (
);
– неточность изготовления i-того
элемента (обычно численно заданная по
условию задачи).
При
решении дополненной таким образом
системы канонических уравнений метода
сил мы получим реакции лишних связей
(
),
вызванные воздействием и внешних
нагрузок, и температурой, и сборкой с
учетом неточности изготовления рабочих
элементов конструкции. Напряжения,
определяемые в этом случае, также будут
совокупными.
Но очень часто интересно знать вклад в совокупные напряжения каждого фактора и иметь возможность при моделировании работы конструкции варьировать величинами этих факторов. В таком случае удобнее использовать принцип суперпозиции применительно к напряжениям. Так напряжение в k-том рабочем элементе от совокупности всех факторов можно представить как:
,
а раскрытие статической неопределимости, т.е. определение реакций лишних связей, производить от каждого фактора в отдельности, решая системы:
,
,
.
Рассмотрим описанный выше прием на примере следующей задачи.
Задача.
Дана
абсолютно жесткая балка ВС,
закрепленная с помощью шарнирно-неподвижной
опоры «О»
и 2-х податливых стержней, и нагруженная
двумя силами
и
кН
(рис. 7.1). В процессе эксплуатации оба
стержня нагреваются на
С.
Стержень №2 изготовлен короче необходимого
размера на
%
l.
Площадь поперечного сечения стержней
,
МПа; коэффициент линейного расширения
материала стержней
,
МПа.
Определить напряжения, возникающие в стержнях от каждого из действующих факторов, а также суммарные напряжения. Сделать вывод о работоспособности системы в целом.
|
Рис. 7.1. Исходная система |
Решение:
1. Образуем основную систему (рис. 7.2):
|
Рис. 7.2. Основная система |
2. Образуем эквивалентные системы (рис. 7.3 а, рис. 7.3 б, рис. 7.3 в):
|
Рис. 7.3, а. Эквивалентная система с воздействием силового фактора |
|
Рис. 7.3, б. Эквивалентная система с воздействием температуры |
|
Рис. 7.3, в. Эквивалентная система с неточностью изготовления |
3. Для каждой эквивалентной системы запишем условие эквивалентности:
|
(7.2) |
|
(7.3) |
|
(7.4) |
Очевидно,
что для всех 3-х эквивалентных систем
коэффициент
одинаков, так как все они построены на
одной и той же основной системе.
4.
Для определения коэффициентов
,
поочередно нагрузим основную систему
единичной силой
(рис. 7.4) и системой внешних сил (рис. 7.5)
и получим величины продольных сил в
стержнях.
|
Рис.
7.4. Основная система, нагруженная
|
;
.
;
– основание: метод сечений.
.
|
Рис. 7.5. Основная система, нагруженная внешними силами |
В
данном случае работает только стержень
№2, в точке его крепления возникнет
реакция
,
которую определим из
:
;
;
;
.
Решим
каждое уравнение (7.2, 7.3, 7.4) относительно
неизвестных
,
,
.
;
;
.
Каждое
значение
поставим на соответствующую эквивалентную
систему (рис. 7.3 а, рис. 7.3 б, рис. 7.3 в) и
определим для каждой эквивалентной
системы реакцию в точке крепления
второго стержня, используя уравнение
равновесия
:
;
;
;
Определим напряжения в стержнях от каждого из факторов.
Продольные
силы и напряжения в стержнях от силы
кН.
Так
как
,
а
,
то
;
.
Продольные
силы и температурные напряжения в
стержнях при их равномерном нагреве на
.
;
;
(стержень
растянут);
(стержень
сжат).
Продольные
силы и сборочные напряжения в стержнях
в результате неточности изготовления
1-го стержня (короче на 0,08%
).
;
;
(стержень
растянут);
(стержень
сжат).
Суммарные продольные усилия и напряжения в стержнях от совокупности действия факторов.
;
;
;
;
Из
результатов расчета видно, что в стержне
№1 развиваются напряжения растяжения,
превышающие допускаемую величину.
Перегруз составляет 7,024 МПа, что в
процентном соотношении от
составляет:
,
то есть меньше допускаемого процента
перегруза. Во втором стержне развивается
напряжение сжатия за счет температурного
воздействия и неточности изготовления,
которые значительно меньше допускаемого.
То есть в целом конструкция работоспособна
при заданных условиях нагружения.