7.2.4.Универсальная теория Мора
Пятая теория прочности – теория предельных состояний (теория Мора).
Критерий равнопрочности: напряженные состояния равнопрочны по наступлению предельного состояния, если при одновременном пропорциональном увеличении главных напряжений их круги Мора одновременно коснутся предельной огибающей.
Если изобразить в координатах семейство кругов Мора для различных предельных состояний материала, то огибающая этого семейства будет предельной огибающей для данного материала.
Изобразим в координатах три предельных круга Мора:
круг с центром в точке O1 – для случая одноосного сжатия (главные напряжения σ1 = 0, σ2 = 0, σ3 = σвс);
круг с центром в точке O2 – для случая одноосного растяжения (главные напряжения σ1 = σвр, σ2 = 0, σ3 = 0);
круг с центром в точке O3 – для случая плоского напряженного состояния (главные напряжения σ1, σ3).
Линия C1D1, огибающая круги, называется предельной огибающей.
Как
видно из рисунка,
,
то есть
.
Запишем длины отрезков через соответствующие напряжения:
,
,
,
.
Подставляя эти значения в пропорцию, получим
,
откуда:
.
После сокращения имеем
,
тогда
,
где
.
Т.к.
– предел прочности для одноосного
растяжения, его можно заменить
.
Таким образом, эквивалентное напряжение по теории Мора, равно:
.
Для
пластичных материалов, одинаково
сопротивляющихся растяжению и сжатию,
,
следовательно
,
то есть теория Мора совпадает с теорией максимальных касательных напряжений.
Для
хрупких материалов
,
и
.
Интересно,
что для весьма хрупких материалов с
,
то есть теория Мора совпадает с теорией максимальных нормальных напряжений.
Теорию Мора рекомендуется использовать для хрупких (в том числе анизотропных) материалов вместо первой и второй теорий. Ее недостатком является неучет промежуточного главного напряжения σ2.
7.3.Общий случай нагружения
Сочетание изгиба в двух плоскостях с растяжением (сжатием) и кручением называется общим случаем нагружения.
Рассмотрим алгоритм расчета на прочность в общем случае нагружения на примере консольной балки прямоугольного поперечного сечения, изготовленной из пластичного материала:
На рисунке показаны эпюры распределения внутренних силовых факторов вдоль оси балки.
Алгоритм расчета на прочность
1. Определение положения опасного сечения.
В рассматриваемом случае опасным является сечение в непосредственной близости от заделки, где максимальной величины достигают изгибающие моменты Mx и My. Здесь действуют внутренние силовые факторы:
;
;
;
;
;
.
2. Определение вида деформации в опасном сечении.
В нашей задаче опасное сечение испытывает общий случай нагружения – это косой поперечный изгиб с растяжением и кручением.
3. Определение положения опасной точки в опасном сечении.
Рассмотрим распределение напряжений от различных внутренних усилий по опасному сечению:
Опасной точкой сечения является одна из трех точек:
либо точка a, в которой возникают наибольшие нормальные напряжения;
либо точка b, в которой возникают наибольшие касательные напряжения и, кроме того, действуют нормальные напряжения;
либо точка c, в которой одновременно действуют и нормальные, и касательные напряжения.