Нормальный закон распределения

14. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина Xс параметрами a = 173 и σ = 6, найти долю костюмов 4-го роста (176 – 182 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.

Решение

Доля костюмов 4-го роста (176 – 182 см) в общем объеме производства для данной возрастной группы определим по формуле:

где – функция Лапласа,

Из условия следует, что a = 173, σ = 6, α = 176, β = 182. Поэтому:

По таблице значений функции (см. приложение 2) определяем, что:

Значит:

Ответ:

Вариационный ряд

15. Дана выборка значений некоторого непрерывного распределенного количественного признака Х, объем выборки n = 50:

-2,25	0,38	-1,31	-1,05	-0,07	-4,17	3,69	-1,47	2,34	-1,22
0,42	-3,24	0,95	-0,68	0,15	1,75	0,71	-3,37	0,95	0,99
-3,1	-2,79	-1,15	2,26	0,21	1,37	-1,62	1,41	3,95	-1,05
-0,03	-2,49	-0,52	2,91	-5,71	0,91	-3,78	-0,14	-0,82	-2,4
3,78	1,17	-1,79	0,16	2,02	-3,88	0,64	-1,08	3,18	-0,84

Требуется:

1) Построить интервальный ряд, определив количество интервалов по формуле Стерджеса, рассчитать частоты, относительные частоты (частости), накопленные частоты, накопленные частости.

2) Построить гистограмму, кумуляту.

3) Найти средние величины: выборочное среднее, медиану, моду.

4) Найти показатели вариации: размах, среднее линейное отклонение, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Решение

1) Построим интервальный ряд: ; .

Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число интервалов:

.

Т.к. n = 50, то . Будем считать k = 7. Начало первого интервала . Конец последнего, седьмого интервала (минимальное и максимальное значение признака округлили в соответствующую сторону с точностью до десятых: для нижней границы – до десятых вниз, для верхней границы – до десятых вверх).

Длина каждого интервала будет равна¹:

.

Подсчитаем число вариант, попадающих в каждый интервал, получим вариационный ряд:

	[-5.8;-4.4)	[-4.4;-3)	[-3;-1.6)	[-1.6;-0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6;4)
	1	6	6	11	15	6	5

Разделив частоты на объем выборки найдем относительные частоты (частости): ; ; и т.д.

Получаем:

	[-5.8;-4.4)	[-4.4;-3)	[-3;-1.6)	[-1.6;-0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6;4)
	0,02	0,12	0,12	0,22	0,3	0,12	0,1

Запишем интервальный ряд с накопленными частотами²:

	[-5.8;-4.4)	[-4.4;-3)	[-3;-1.6)	[-1.6;-0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6;4)
	1	7	13	24	39	45	50

Накопленные частоты подсчитывали как количество вариант, значения которых меньше правой границы каждого интервала.

Запишем интервальный ряд с накопленными частостями:

	[-5.8;-4.4)	[-4.4;-3)	[-3;-1.6)	[-1.6;-0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6;4)
	0,02	0,14	0,26	0,48	0,78	0,9	1

Накопленные частости рассчитывали по формуле: .

2) Построим гистограмму частот в MSExcel:

Построим кумуляту для интервального ряда – ломанную, которая начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – нулю; другие точки этой ломанной соответствуют концам интервалов и накопленным частотам. Воспользуемся средствами MS Excel:

3) Найдем средние величины.

Среднее выборочное:

Значения – середины интервалов:

	[-5.8;-4.4)	[-4.4;-3)	[-3;-1.6)	[-1.6;-0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6;4)
	0,02	0,12	0,12	0,22	0,3	0,12	0,1
середины интервалов	-5,1	-3,7	-2,3	-0,9	0,5	1,9	3,3

.

Таким образом, .

Найдем медиану интервального ряда – значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений. Сначала определяем интервал медианы – первый интервал, в котором накопленная частота окажется больше половины объема выборки, т.е. больше 25.

	[-5.8;-4.4)	[-4.4;-3)	[-3;-1.6)	[-1.6;-0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6;4)
	1	6	6	11	15	6	5
	1	7	13	24	39	45	50

Таким интервалом в нашем случае является [-0.2; 1.2].

Таким образом, .

Найдем моду интервального ряда – значение признака, которому соответствует наибольшая частота. Сначала определяем интервал моды –интервал с наибольшей частотой: [-0.2; 1.2].

	[-5.8;-4.4)	[-4.4;-3)	[-3;-1.6)	[-1.6;-0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6;4)
	1	6	6	11	15	6	5

Таким образом, .

4) Найдем показатели вариации.

Размах: .

Среднее линейное отклонение:

Значения – середины интервалов, .

	[-5.8;-4.4)	[-4.4;-3)	[-3;-1.6)	[-1.6;-0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6;4)
	0,02	0,12	0,12	0,22	0,3	0,12	0,1
середины интервалов	-5,1	-3,7	-2,3	-0,9	0,5	1,9	3,3

Таким образом, .

Выборочная дисперсия:

Значения – середины интервалов, .

	[-5.8;-4.4)	[-4.4;-3)	[-3;-1.6)	[-1.6;-0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6;4)
	0,02	0,12	0,12	0,22	0,3	0,12	0,1
середины интервалов	-5,1	-3,7	-2,3	-0,9	0,5	1,9	3,3

.

Таким образом, .

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:

Исправленные выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение:

Ответ:

Задания для самостоятельной работы