Формула Пуассона

Есливероятность pнаступления события A – постоянна и мала, а число испытаний n – велико и число λ = np – незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то имеет место приближенное равенство:

Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа

Локальная теорема.Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р <1), событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Здесь

, ,

Таблица значений функции Гаусса для положительных значений хприведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей с учетом того, что функция четная, следовательно, .

Интегральная теорема.Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раз, приближенно равна

P(m₁; m₂) = Φ(x) – Φ(x)

Здесь – функция Лапласа,

Таблица значений функции Лапласа для положительных значений х(0 ≤ х ≤ 5) приведена в приложении 2; для значений х > 5 полагают Φ(x) = 0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная Ф(–x)= –Ф(x).

На практике, приближенные равенства из локальной и интегральной теоремы Муавра-Лапласа используют при выполнении условия: npq > 20.

Дискретные случайные величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения x_i, а вторая – соответствующие вероятности р_i:

X	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

где .

Закон распределения дискретной случайнойвеличины X может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=x_i) = φ(x_i)

или с помощью функции распределения.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(X) = x₁p₁+ x₁p₂+…+ x_np_n.

Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]².

Дисперсию удобно вычислять по формуле

D(Х) = М(X²) – [М(Х)]².

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

.

Функция распределения

Функцией распределения называют функциюF(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т. е.

F(x) = P(X<x).

Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1.0 ≤ F(x) ≤ 1.

Свойство 2.Функция распределения – неубывающая функция:

F(х₂) ≥ F(х₁),еслиx₂ > x₁.

Следствие 1. Вероятностьтого, что случайная величинаXпримет значение, заключенное в интервале(a, b)равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р(а < X < b) = F(b) – F(а).

Следствие 2.Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, например х₁равна нулю:

P(X = x₁)= 0.