Оглавление

Оглавление 1

Пояснительная записка 3

Краткие теоретические сведения 4

Определение вероятности события 4

Теорема сложения вероятностей 4

Теорема умножения вероятностей 4

Формула полной вероятности 5

Формула Байеса 5

Формула Бернулли 5

Формула Пуассона 6

Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа 6

Дискретные случайные величины 7

Числовые характеристики дискретных случайных величин 7

Функция распределения 7

Дифференциальная функция распределения 8

Числовые характеристики непрерывных случайных величин 8

Нормальный закон распределения 9

Генеральная совокупность и выборка 10

Вариационный ряд 10

Числовые характеристики вариационных рядов 11

Решение типовых задач 14

Теоремы сложения и умножения вероятностей 14

Формула полной вероятности. Формула Байеса 17

Формула Бернулли 19

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона 21

Дискретные случайные величины 22

Нормальный закон распределения 25

Вариационный ряд 26

Задания для самостоятельной работы 31

1. Теоремы сложения и умножения вероятностей 31

2. Формула полной вероятности. Формула Байеса 31

3. Формула Бернулли 32

4. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона 33

5. Дискретные случайные величины 33

6. Нормальный закон распределения 34

7. Вариационный ряд 34

Список литературы 37

Приложение 1 38

Приложение 2 39

Пояснительная записка

При изучении курса теории вероятностей и математической статистики студентами заочной формы обучения большая роль отводится самостоятельной работе с учебным материалом. Для проверки приобретения студентами практических навыков им предлагается выполнить внеаудиторную контрольную работу.

Работу над контрольной работой рекомендуется построить следующим образом.

Каждый студент решает свой вариант – его номер в экзаменационной ведомости. В заданиях контрольной работы часто необходимо номер варианта, как переменную N подставить в условие, и решать задачу с рассчитанными по номеру варианта данными; иногда индивидуальные данные для каждого варианта предлагаются в виде таблицы после формулировки текстовой части задания.

Сначала рекомендуется разобрать предложенное решение типовой задачи; убедится что при самостоятельном решении этой же задачи получается точно такой же ответ, как в подробном решении. При необходимости следует обращаться к теоретической справке и соответствующей теме в учебниках, перечисленных в списке литературы. Основная масса этих учебников имеется в открытом доступе в Интернет. Затем уже можно приступать к решению индивидуального задания, соответствующего своему варианту.

Оформлять контрольную работу необходимо в отдельной тетради в клетку. Допускается оформление контрольной работы на ПК (на основе электронной версии этого пособия – в решении типовых примеров заменить данные на свои): отправить файл на электронную почту преподавателя, распечатанный вариант представить на кафедру.

Обязательно указать фамилию и инициалы, номер варианта. Индивидуальные задания можно решать в любой последовательности.

После проверки контрольной работы преподавателем выставляется оценка «зачтено». При наличии ошибок контрольная работа возвращается на доработку студенту.

Краткие теоретические сведения

Определение вероятности события

Классическое определение вероятности события.При классическом определении вероятность события определяется равенством

P(A)=m/n,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A; n – число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Геометрическое определение вероятности. Пусть отрезок lсоставляет часть отрезка L. На отрезке Lнаудачу поставлена случайная точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок lпропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок lопределяется равенством

P = Длина l/Длина L

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А₁+А₂+...+А_n) = P(A₁) + Р(А₂) +…+ Р(А_n).

Теорема сложения вероятностей совместных событий.Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событии. Например, для трех совместных событий

Р(A+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(ABC).

Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)∙Р_A(В).

В частности, для независимых событий

P(АВ) = Р(А)∙Р(В),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь припоявлении одного из несовместных событий (гипотез)H₁,H₂, …,H_n образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A:

где .

Формула Байеса

Пусть событиеА может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез)H₁,H₂, …,H_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Байеса

где

Формула Бернулли

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления событияравна p(0 < p < 1), событие наступит ровноmраз (безразлично,в какой последовательности), равна

где q = 1 – p.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а)менееm раз; б) болееm раз; в) не менееm раз; г) не болееm раз, находят соответственно по формулам:

P_n(0) + P_n(1) +…+ P_n(m – 1);

P_n(m + 1) + P_n(m + 2) +…+ P_n(n);

P_n(m) + P_n(m + 1) +…+ P_n(n);

P_n(0) + P_n(1) +…+ P_n(m).