2.7. Математическая модель р-п –перехода. Вольт – амперная характеристика

Получим аналитически выражение вольт-амперной характеристики I=f(U) p-n-перехода, которое приведено выше, считая, что p-n-переход несимметричный, а, следовательно, прямой и обратный ток определяются, только, движением основных носителей заряда т.е., дырок. Для нахождения тока основных носителей заряда через переход надо найти:

1. концентрацию дырок (неосновных носителей) на границе перехода;

2. концентрацию неравновесных носителей (дырок) (р_(х)) за переходом, в n-области;

2. градиент избыточной концентрации дырок за переходом d(р)/dx.

3. ток через р-n-переход-I_p=ПeD_p[d(р)/dx]|_x=0, где П - площадь p-n-перехода.

Переход считаем плоскопараллельным, достаточно тонким, генерацией и рекомбинацией носителей заряда пренебрегаем.

Для перехода находящегося под напряжением можно записать:

j_диф + j_др ≈ 0.

Используя выражения для плотности токов диффузии и дрейфа

j_диф = -eD_p(dp/dx); j_др = epμ_p(dU/dx)

и соотношение Эйнштейна μ/D = e/(кТ), получим дифференциальное уравнение, которое и определяет концентрацию дырок (неосновных носителей) на границе перехода

.

Граничные условия можно записать следующим образом:

при х=0 u=0; p=p_р;

при х=l_pn u=φк-U; p=p₀.

Решение уравнения () имеет вид

.

Из граничных условий при х=0 находим, что , а при х=l_pn

_.

Используя ранее записанное выражение для контактной разности потенциалов , получим

_.

Отсюда следует, что

p₀=р_ne^eU/кT, или p₀ - р_n=р_n(e^eU/кT - 1).

Следовательно, концентрация неосновных носителей заряда на границе перехода экспоненциально зависит от величины приложенного напряжения.

Концентрацию избыточных носителей дырок (р_(х)) за переходом, в n-области, находят из решения уравнения непрерывности

Рассматриваем установившейся режим, когда р во времени не изменяется т.е. . А также считаем, что внешнее напряжение целиком падает на переходе и поле за переходом отсутствует: Е=0. Таким образом, ток за р-п-переходом связан с неосновными носителями и имеет диффузионный характер. Тогда уравнение непрерывности можно упростить

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, его общее решение имеет вид:

,

где к₁ и к₂ находят как корни характеристического уравнения: к²-1/

(D_p_p) = 0.

Отсюда следует, что , а .

Постоянные интегрирования А1 и А2 находим из граничных условий, выбрав начало координат на границе р-п-перехода с n-областью, тогда:

при х=0, р=р₀=р_nе^еU/кT; при х=, р=р_n.

Из второго условия вытекает А₂=0. Из первого находим: А₁=р₀-р_n. Тогда, введя обозначения: кТ/е=_т – температурный потенциал, (D_p_p)^1/2=L_p – диффузионная длина избыточных носителей заряда, решение имеет вид

р – р_n= (р₀ - р_n) е^-x/Lp = р_n(е^U/φт - 1)

Таким образом, концентрация неравновесных носителей (дырок) (р_(х)) за переходом, в n-области, убывает по экспоненциальному закону. Диффузионная длина это расстояние, на котором избыточная концентрация убывает в е2,71 раз. Измерения показывают: L_p=0,7-2 мм для Ge и L_p=0,2-0,6 мм для Si.

Найдем градиент избыточной концентрации дырок за переходом d(р)/dx

Отсюда ток через несимметричный p-n-переход определяется выражением:

I_p=ПeD_p[d(р)/dx]|_x=0 = I₀(e^U/φт - 1)

где I₀ =Пеp_nD_р/L_n – обратный тепловой ток p-n перехода, при достаточно большом обратном напряжении, когда e^U/φт <<1. По физической природе это ток экстракции, величина его мала, как видно он не зависит от величины обратного напряжения.