Тема 6. Математическое моделирование, общая его характеристика.

Научно – технический прогресс в промышленности требует применения сложных алгоритмов управления, которые могут быть реализованы на простых математических моделях(оптимальное управление, адаптивное управление, координация). Решение такой сложной проблемы как получения и анализ математической модели возможное путем применения вычислительной техники (обработка больших массивов информации, необходимой в оперативном принятии решений по управлению в реальном масштабе времени и т.д.).

В отличие от физических моделей, математическая модель создают на одинаковом математическом описании явлений, которые проходят в модели и оригинале.

В основе математического моделирования систем управления лежит кибернетический подход. Суть его заключается в том, что математическая модель представляет собой математический оператор, который превращает входную информацию в исходную и этот оператор характеризует объект или его характеристику или свойства.

/

Рис. 6.1. Объект как математический оператор

Модель объекта можно представить в виде математического оператора, который превращает информацию о входных сменных, в информацию об исходных сменных. Этих математических операторов может быть большое количество и каждый из этих операторов отображает определенные свойства объекта или определенные этапы и режимы функционирования объекта.

Степень сложности математического оператора зависит от целей моделирования, от целей использования модели. То есть степень сложности модели зависит от многих факторов и должен быть достаточным для решения практических задач. Модель объекта можно представить в виде множества величин, которые описывают функционирование объекту в реальных условиях и образовывают в общем случае подмножества входных действий и подмножества исходных характеристик объекту.

К подмножества входных действий можно отнести совокупность возмущений , входные действия, факторы, которые влияют на смену исходных характеристик объекту, но в процессе функционирования объекту их не возможно изменить. То есть вектор возмущений характеризуется большой ступінню неопределенности. Вектор возмущений можно характеризовать в количественном отношении определенными статистическими характеристиками ( в этом случае возмущения рассматриваются как случайный процесс с определенным законом распределения), так и в качественном отношении в виде нечетких величин, качественных признаков и т.п.

Совокупность управлений — это совокупность входных действий, которые целеустремленно меняются заранее определенными планами (программа, алгоритм) или (также) на основании полученной информации о входных и исходных сменных.

Совокупность входных, промежуточных действий — это совокупность факторов, которые характеризуют влияние других подсистем системы, в которой находится объект. Например, задача из высших уровней иерархии управления, исходные сменные подсистем того же уровня, который и объект управления, которые характеризуют влияние этих подсистем на объект.

Совокупность исходных сменных, вектор выхода — это совокупность параметров, которые характеризуют свойства объекту и его функционирование, а также влияние этого объекту на следующие подсистемы или на окружающую среду.

Важным параметром математической модели, особенно в том случае, когда они характеризуют функционирование объекту, есть фактор времени. В общем случае математическая модель, которая воссоздает свойству и функционирование объекту представляет собой математический оператор вида: = ( , , ,t ).

— математический оператор, математическая модель объекту.

Оператор может быть задан в виде: функций, функционалу, логических условий и соотношений в виде алгоритма, в табличной форме или в вербальном виде(описание словами в произвольной форме, как правило ограничения естественного языка).

Оператор автоматической модели рассматривают как сложную систему. Оператор можно представить в виде таких компонентов: структуры S и параметров структуры As.

<S, As >

К структуры математической модели входит: совокупность элементов (множество входных и исходных сменных) и связи между этими элементами (например, линейные, нелинейные, в виде дифференциальных уравнений или в операторній форме, стохастичний или детерминированный и т.д.).

Параметрами структуры As есть коэффициенты уравнений, начальное и краевое условия, условия логических переходів и т.п.

К математическому моделированию относят также процесс исследования математической модели на ЭВМ (например, имитационное моделирование). Несмотря на большое количество типов математических моделей можно выделить несколько основных их свойств, характеристик, с точки целей исследования и практического использования. К таким характеристикам нужно отнести: точность, экономичность и универсальность математической модели.

Точность математической модели — это ее свойство, которое отображает степень співпадання предусмотренных с помощью модели значений исходных сменных объекту с его истинными значениями.

Истинные значения исходных сменных объекту чаще всего отождествляют с экспериментально полученными значениями.

Нужно учитывать, что точность экспериментальных данных не всегда удовлетворяет точности, которую должна иметь математическая модель для ее использования. В этих случаях нужно пересмотреть требования к математической модели, или повысить точность получения экспериментальных данных. Например, применение более точных приборов, методик или применять более эффективные алгоритмы обработки экспериментальной информации.

Точность математической модели определяется по одним или совокупностью показателей – критериев точности.

Экономичность математической модели состоит в интегральной оценке эффективности математической модели, исходя из затрат на ее создание и эксплуатацию и эффекта, полученного в результате ее практического использования. Например, скорость получения результата в схемах реального времени и т.д.

Универсальность математической модели заключается в том, чтобы она могла быть применена для групп однотипных объектов, для них анализа в разных режимах функционирования.

Основные этапы математического моделирования:

1. определение целей моделирования и задач моделирования;

2. определение показателей, критериев, исходя из поставленных задач моделирования и в зависимости от режимов функционирования объекту;

3. определение и выбор параметров, которые влияют на выбранные показатели качества;

4. выявление наиболее существенных связей и параметров (наиболее существенные связи отображают в структуре математической модели);

5. математическое описание элементов объекта;

6. математическое описание связей между элементами объекта;

7. математическое описание объекта вцілому;

8. определение области решений математической модели;

9. составление алгоритма и программ для модели на ЭВМ;

10. оценка и обобщения результатов моделирования;

11. применение математической модели:

а) анализ;

б) синтез;

в) использование математической модели в контуре управления.

Контрольные вопросы

1. Что является основой математического моделирования?

2. Охарактеризуйте множества сменных моделей.

3. Как может быть заданным оператор математических моделей?

4. Что представляет собой структура и параметры математических моделей?

5. Что такое точность математической модели?

6. Что такое еконочність математической модели?

7. Что такое универсальность математической модели?

8. Основные этапы математического моделирования.

[6,c.22-34; 7,c.99-112]