Интегралы Фурье
В
случае если функция
периодична на всей числовой оси или
получена периодическим продолжением
функции, заданной в интервале
то она может быть разложена в ряд Фурье.
Непериодическую функцию в ряд Фурье
разложить нельзя. Однако, в случае, если
функция
:
определена на всей числовой оси;
удовлетворяет условиям теоремы Дирихле в любом конечном интервале;
абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. существует несобственный интеграл
то эта функция во всех своих точках непрерывности может быть представлена в виде интеграла Фурье (или разложена в интеграл Фурье):
где
В
точках разрыва функции
левую часть интеграла Фурье следует
заменить на
Выражение
для интеграла Фурье может быть получено
из разложения функции, определенной в
интервале
,
в ряд Фурье в результате предельного
перехода
.
Если
— периодическая по времени
функция, то ряд Фурье представляет ее
в виде суммы бесконечного счетного
числа гармоник
и
с частотами
.
Совокупность всех частот
называется спектром, в данном случае
дискретным, функции
.
Интеграл Фурье представляет непериодическую
функцию
в виде наложения бесконечного множества
гармонических колебаний с непрерывно
изменяющейся частотой
(или непрерывным спектром), которая
может принимать значения либо на всей
оси
,
либо на некотором ее отрезке. В общем
случае спектр функции может иметь как
дискретные, так и непрерывные части.
Формула
для четной функции , при тех же замечаниях о точках ее разрыва, принимает вид
а для нечетной
Если
функция
определена в промежутке
,
удовлетворяет условиям Дирихле в любом
конечном интервале, содержащемся в
промежутке
,
и абсолютно интегрируема в
,то
она может быть представлена в указанном
промежутке либо в виде четного продолжения,
либо в виде нечетного продолжения.
В
случае четной функции
,
определенной в
,
а также в случае четного продолжения
функции
,
определенной в
,
имеем
Для нечетной функции , определенной в , а также при нечетном продолжении
Здесь
функции
и
называются соответственно косинус-образом
и синус-образом Фурье функции
.
Интеграл Фурье может быть записан в виде
а также в комплексной форме
где
интеграл с бесконечными пределами по
переменной
понимается в смысле главного значения,
т.е. нижний и верхний пределы интегрирования
стремятся соответственно к
и
,
оставаясь равными по абсолютной величине.
Форма
интеграла Фурье эквивалентна форме
в
силу равенства
,
а также четности косинуса и нечетности
синуса по переменной
.
Комплексная функция
действительного аргумента
,
получаемая из
по формуле
называется
образом Фурье (или спектральной
плотностью) функции
.
При этом
непрерывна в каждой точке
и
В случае четной , согласно
имеем
,
где
продолжается четно при
,
так как
.
Для нечетной
,
где
продолжается нечетно при
,
так как
.
Для произвольной функции
имеем
где
и
— четная и нечетная функции соответственно.
Следовательно, образ Фурье для
равен
,
где
и
—
косинус-образ и синус-образ функций
и
соответственно, продолженные надлежащим
способом для
.
Если
функция
,
где
— натуральное число, абсолютно
интегрируемая в
,
то образ Фурье
функции
дифференцируем
раз по
и производную порядка
можно найти дифференцированием под
знаком интеграла
Если
и
— образы Фурье функций
и
соответственно, то образ Фурье свертки
двух функций
и
равен
Если
— образ Фурье функции
,
а
— образ Фурье производной
(если она существует), то
при условии, что все производные от
порядка, меньше
,
стремятся к нулю при
.
Примеры решения заданий по теме «Ряды и интегралы Фурье».
Задать аналитически функцию, график которой изображен на рисунке. Построить для этой функции 4 ряда Фурье: общий тригонометрический, по синусам, по косинусам и в комплексной форме. Изобразить графики сумм построенных рядов.
Дано:
Решение:
1.
Зададим функцию, график которой изображен
на рисунке, аналитически. Прежде всего
заметим, что определена она только на
отрезке [0; 3]. Видим, что на промежутке
функция постоянна и все значения ее
равны
,
то есть
при
.
На интервале
график функции есть отрезок прямой
,
проходящей через точки
и
.
Уравнение прямой на плоскости, проходящей
через точки
,
имеет вид
.
Подставим в это уравнение величины
,
получим уравнение
прямой
в координатах
.
Окончательно, аналитическое значение данной функции будет иметь следующий вид:
2. Построим общий тригонометрический ряд Фурье:
где
,
– длина промежутка
,
на котором создана исходная, интегрируемая
на нем, функция
,
а также период суммы ряда Фурье.
Коэффициенты
вычисляются по функции
следующим образом:
Так
как функция задана на интервале
,
то
.
Вычислим коэффициенты
Затем,
используя, например, теорему Дирихле о
поточечной сходимости ряда Фурье, видим,
что построенный нами ряд Фурье сходится
к периодическому (с периодом
)
продолжению исходной функции при всех
,
и
,
где через
обозначена сумма ряда Фурье. График
функции
имеет следующий вид:
Ответ:
3. Построим ряд Фурье по синусам.
Ряд
Фурье по синусам в общем случае существует
только для нечетной функции. Для того,
чтобы построить ряд Фурье по синусам
для нашей функции, продолжим ее нечетным
образом на промежуток
.
Затем, считая, что
,
воспользуемся стандартным видом ряда
Фурье для нечетной функции:
,
Вычислим коэффициенты:
Применив
теорему Дирихле, видим, что
.
Таким образом, график суммы этого ряда
имеет вид:
Ответ:
4. Построим ряд Фурье по косинусам.
Аналогично, ряд Фурье по косинусам существует только для четной функции. Для того, чтобы построить ряд по косинусам для нашей функции, продолжим ее четным образом на промежуток . Затем, как и в предыдущем случае, считая, что , воспользуемся стандартным видом ряда Фурье для четной функции:
Вычислим
коэффициенты
:
Применив
теорему Дирихле, видим, что
при всех вещественных значениях аргумента
.
Таким образом, график суммы этого ряда
имеет вид:
Ответ:
5. Построим ряд Фурье в комплексной форме.
Ряд Фурье для функции в комплексной форме имеет вид
В
нашем примере, считая, как и ранее, что
,
находим коэффициенты
:
Отметим, что коэффициенты связаны с коэффициентами общего ряда Фурье следующим образом:
Затем,
как и ранее, используя теорему Дирихле
о поточечной сходимости ряда Фурье,
видим, что построенный нами ряд Фурье
в комплексной форме сходится к
периодическому, периода
,
продолжению исходной функции при всех
,
и
при
.
График суммы этого ряда Фурье имеет
следующий вид (поведение ряда Фурье и
его график в этом случае совпадают с
поведением и графиком ряда Фурье для
случая общего тригонометрического ряда
Фурье):
Ответ:
2*. С помощью преобразования Фурье решить краевую задачу
Решение:
Применим косинус-преобразование Фурье по переменной x:
Проверим
выполнение граничного условия
.
Имеем
Дифференцирование по дает
откуда следует, что . Тогда, учитывая, что
приходим к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
для
определения функции
.
Решение этой задачи имеет вид
Искомую
функцию
находим с помощью обратного
косинус-преобразования Фурье:
Рассмотрим два случая.
1)
.
Тогда
2)
.
Тогда
Поскольку
функция
определена только для положительных
значений
,
то нужно преобразовать последний
интеграл:
Теперь
Итак, искомое решение есть
где
Замечание:
в качестве функций
и
могут быть, например, взяты функции
.
3*. a) Найти область сходимости степенного ряда
Найдем радиус сходимости по формуле
На
границе круга сходимости, т.е. при
,
данный ряд расходится, т.к. последовательность
не
стремится к нулю при
.
Действительно,
=
Итак,
ряд сходится абсолютно при
и расходится при
b) Исследовать на сходимость комплексный ряд
Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость. Для выяснения сходимости ряда
воспользуемся
предельным признаком Даламбера. Так
как
следовательно,
Таким
образом, если
,
т.е.
,
то ряд
сходится и, следовательно, исходный ряд
сходится абсолютно. Если же
,
т.е.
,
то ряд
расходится и, следовательно, исходный
ряд не является абсолютно сходящимся.
Более того, исходный ряд в этом случае
расходится в силу невыполнения
необходимого признака сходимости ряда.
При
,
следовательно, не выполняется необходимый
признак сходимости как для ряда
,
так и для ряда
.
Следовательно, в этом случае исходный
ряд не является абсолютно сходящимся
и не является сходящимся.
Варианты заданий.
1. Разложить в ряд Фурье заданную функцию , построить графики функции и суммы ее ряда Фурье. Если не указывается, какой вид разложения в ряд необходимо представить, то требуется разложить функцию либо в общий тригонометрический ряд Фурье, либо следует выбрать оптимальный вид разложения в зависимости от данной функции.
a).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
расстояние
от числа
до ближайшего целого числа.
б) Для заданной графически функции f(t) построить ряд Фурье в комплексной форме, изобразить график суммы построенного ряда
2*. С помощью преобразования Фурье решить краевую задачу
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Указание: В преобразованиях использовать формулу
и интегральное представление дельта-функции
9.
Указание: Искать решение в виде
где
функции
и
являются решениями следующих краевых
задач:
и
В вычислениях использовать интегральные представления дельта-функции:
и формулу
которую можно получить, вычисляя интеграл в левой части с помощью вычетов.
10.
Указание: в вычислениях использовать интегральное представление дельта-функции:
11.
Указание: в вычислениях использовать интеграл Дирихле:
12.
Указание: учитывая линейность задачи, можно провести ее редукцию и представить решение в виде суммы решений двух задач:
где – решение начальной задачи для однородного уравнения с неоднородными начальными условиями, – решение начальной задачи для неоднородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями. Использовать интегральное представление дельта-функции
и
формулу
(предыдущей страницы).
3*.
1. Найти область сходимости комплексного степенного ряда
2. Найти область сходимости функционального ряда
3. Исследовать сходимость ряда
4. Определить радиус сходимости степенного ряда
5.
Доказать, что ряд
сходится абсолютно, но не равномерно
на множестве
Найти область сходимости следующих рядов:
6.
11. Исследовать на абсолютную сходимость функциональный ряд
12. Исследовать на сходимость ряд
