1.Понятие множества и элементы множества. Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое и объединенная по определенным признакам. Понятие множества является одним из фундаментальных. Георг Кантор (1845-1918) «Множество есть «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью»».Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A; или a принадлежит A, или A содержит a). Если a не является элементом множества A, то пишут (a не входит в A, A не содержит a). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется

пустым и обозначается ∅.«Универсальное множество» U есть совокупность всех

рассматриваемых множеств. Дополнением к множеству A называется множество элементов,

не принадлежащих A. Обозначение: A с палочкой сверху. Так {a, b, c} обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем не выписанные элементы заменяются многоточием.

Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов.

2.Конечные и бесконечные множества. Конечным множеством называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Примерами конечных множеств могут быть множество корней алгебраического уравнения n-й степени, множество букв русского алфавита, множество персонажей романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита», множество атомов Солнечной системы. Причем неважно, известно число элементов множества или нет, главное, чтобы оно существовало. Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов. Таковы, например, множество всех натуральных чисел, множество точек окружности, множество прямых, проходящих через точку плоскости, и т.д. К конечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустым и обозначают Æ. Необходимость его введения вызвана тем, что, определяя множество с помощью некоторого условия, мы не всегда можем сказать заранее, содержит ли оно элементы или нет. Например, в 101-й группе может не быть отличников и тогда А={а | а – отличник 101-й группы}=Æ.

3.Свойства операций объединения и пересечения множеств. Объединением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих, по крайней мере, одному из данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B . Обозначают и читают "объединение A и B".) Пересечением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A и B. Обозначают и читают "пересечение A и B". для удобства будем называть системами такие множества, элементами которых служат другие множества. Тогда объединением множеств некоторой системы называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих по крайней мере одному множеству данной системы. Пересечением множеств некоторой системы называется множество, состоящее из элементов, входящих во все множества данной системы. Свойства операция объединения и пересечения множеств.

1) коммутативность объединения и пересечения множеств

A⋃B=B⋃A ;

A⋂B=B⋂A .

2) ассоциативность объединения и пересечения множеств

A⋃(B⋃C)=(A⋃B)⋃C ;

A⋂(B⋂C)=(A⋂B)⋂C ;

3) дистрибутивность

A⋂(B⋃C)=(A⋂B)⋃(A⋂C) ;

4.Прямое произведение множеств. Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах. Декартово произведение это произведение множеств А и В, состоящее из всех упорядоченных пар элементов, в которых первый элемент принадлежит А, а второй В. В частности, для нуля множеств результатом является множество, содержащее единственный элемент — пустой. Из этого определения как частный случай также следует определение бинарной операции декартова произведения (прямого произведения двух множеств).

Для семейства множеств с возможно, бесконечным индексным множеством Декартово произведение можно определить как функцию сопоставляющую каждому элементу элемент множества.

5.Бинарные отношения. В математике бинарным отношением называется подмножество прямого произведения двух множеств.

R c= A*B, где R бинарные отношения между множествами А и В (аRв)

В частности, бинарным отношением на множестве называется непустое множество упорядоченных пар элементов этого множества. Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как

Рефлексивность: (если для любого а из М пара (а,а) принадлежит R) Антирефлексивность Симметричность: (если для любых а и в из М из того, что пара (а,в) принадлежит R, вытекает, что пара (в,а) принадлежит R) Антисимметричность

Транзитивность: (если для любых трех элементов а,в,с из М, из того, что пары (а,в) и (в,с) принадлежат R, следует, что пара (а,с) принадлежит R.

Бинарное отношение R является отношением эквивалентности если оно ревлексивно,симметрично и транзитивно одновременно ( (а,в) принадлежащее R : а=в)

6. функция как закон соответствия между множествами Функцией –называют закон по которому элементам из 1 множетсва А ставятся в соответствие элементы из 2 множества В. Такой закон обозначается f. Множество Х называется областью определения функции. Множество Y – областью значений. Каждая функция А (стрелочка) В определяет бинарное отношение на множестве А*В и обратно.

7. класс элементарных функций. Функции, построенные из основных элементарных функций с

помощью конечного числа алгебраических действий и конечного

числа операций образования сложной функции, называются

элементарными. Элементарные функции можно разделить на:

1. Степенные: Y=X (в n степени)

2. Показательные: Y=A (в степени х)

3. Логарифмические: Y=loga(x)

4. Гиперболичсекие: Sh(x), ch(x), th(x)

5. Тригонометрические: sin(x), cos(x),tg(x)

6. Обратные тригонометрические: arc…

8. суперпозиция функций Суперпозиция (сложная функция) — это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных. Подстановкой функции g в функцию f называется замена i-того аргумента функции f значением функции g. Отождествлением переменных называется подстановка i-того аргумента функции f вместо j-того аргумента. Ранг суперпозиции — это минимальное число подстановок и отождествлений, за которое суперпозиция может быть получена из исходного множества функций. Суперпозиция K ранга n обозначается как K в степени n.

9. последовательность- функция натурального аргумента.

Последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве

натуральных чисел. Числовой последовательностью {an} называется числовая функция:an = f (n),заданная на множестве натуральных чисел n∈N. График последовательности состоит из отдельных точек. Иногда точки соединяют сглаживающими линиями для удобства

и наглядности. Последовательность ограничена, если найдется такое положительное число M, что для любого значения n выполняется условие | an | ≤ M. Последовательность возрастает, если каждый последующий член не меньше предыдущего. Последовательность монотонная, если она возрастающая или убывающая. Постоянная последовательность состоит из членов, равных одной и той же константе.

10. Бесконечно малая последовательность — последовательность, предел которой равен 0. Последовательность называется бесконечно-малой последовательностью, если

Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/xn}, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn} – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/xn} есть бесконечно большая последовательность.(n везде ИНДЕКС)

21. Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательностей.

Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:

22. Признаки существования предела последовательности

1Теорема (признак существования предела). Теорема Вейерштрасса Если последовательность {an} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

2Теорема (признак существования предела).или теорема о двух милиционерах. Если одна

последовательность заключена между двумя другими, имеющими одинаковый предел, то она имеет тот же предел.

3Критерий Коши:Для существования предела последовательности {Xn}, необходимо и достаточно, чтобы для любого эпсилон>0 существовало N=N(эпсилон) такое, что для всех n>N и p>0, |Xn-X(n+p)|<эпсилон.

23. Замечательный предел типа e

Вторым замечательным пределом называется предел Число, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов. Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между 2 3/7 и 3 . Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число и доказывается это с помощью формулы Бинома Ньютона.

24 Предел функции в точке.

Имеется также определение предела функции, при стремлении

аргумента к определенному значению а, называемого пределом функции в

точке. Число A называется пределом функции y = f(x) при x → a, если для любого, даже сколь угодно малого положительного для любого, даже сколь угодно малого ε > 0, найдется такое число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех x из δ-окрестности точки a, выполнено неравенство: Это определение называется определением на языке ε и δ,предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.

Запишем на языке кванторов определение предела функции в точке:

25. определение предела функции на языке

26 Геометрический смысл предела функции в точке

Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции

в точке. Построим график функции y=f(x) и отметим на нем точки

x=a и y=A.

Предел функции y=f(x) в точке x стремящееся к а существует и равен A, если

для любой ε-окрестности точки A можно указать такую δ-окрестность точки

a, что для любого x из этой δ-окрестности значение f(x) будет находиться в

ε-окрестности точки A.

Отметим, что по определению предела функции в точке для

существования предела при x → a не важно, какое значение принимает

функция в самой точке a. Можно привести примеры, когда функция не

определена при x=a или принимает значение, отличное от A. Тем не

менее, предел может быть равен A.

27 Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Функция называется бесконечно большой при x стремящееся a или в точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e .

28. свойства функций имеющих предел

29. односторонние пределы функции в точке

41. Определение производной

42. Производная как скорость изменения функции

43. Геометрический смысл производной

44. Связь между непрерывностью и существованием производной

45. Правило вычисления производной от суммы, произведения и частного функций

46. Производная сложной функции

47. Нахождение производных от основных элементарных функций

48. Бином Ньютона

49. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции на отрезке

50. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей

51 понятие о дифференциале функции

52. Геометрический смысл дифференциала функции

53. Связи дифф. И и производной функции

54. свойства дифференциала

55. Таблица дифференциалов

56. Теоремы о первообразных функции

Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1(x)+C, где С – постоянная.

57. Определение и свойства неопределенного интегралда от функции

58. таблица простейших неопределенных интегралов

59. Метод подстановки вычислений неопределенного интеграла

60.Метод взятия интеграла по частям