6.Отдельные вопросы теории управления

6.1. Управляемость и наблюдаемость

Дифференциальные уравнения многомерной системы управления могут быть представлены в форме Коши векторно - матричной записью вида:

(6.1)

В этих выражениях используются следующие матрицы – столбцы: х - для фазовых координат системы, y - для управляемых величин, u - для управляющих величин, f – для возмущающих и задающих воздействий.

A, B, C, D, E – матрицы коэффициентов. , ( i = 1,2,…,n) представляют собой некоторые абстрактные величины, задание которых полностью определяет текущее состояние системы. Эти величины называются фазовыми координатами системы. Состояние системы может быть полностью отождествлено с положением изображающей точки в n – мерном пространстве, которое носит название пространства состояний. Рассмотрим n – мерное пространство состояния Х, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат . Пусть в пространстве состояний Х заданы два множества . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление u(t), определенное на конечном интервале времени, которое переводит изображающую точку в пространстве Х из подобласти в подоблась . Система будет полностью управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле. Отметим, что на временном интервале траектория состояний системы однозначна для заданного входного сигнала. Когда часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (6.1) , то это говорит о том, что система будет не полностью управляемой. А если часть фазовых координат не участвует в формировании выхода y, то система считается не полностью наблюдаемой. Например, система управления, представленая уравнениями вида:

является не полностью управляемой, а система управления, представленная уравнениями вида:

является не полностью наблюдаемой.

6.2.Инвариантные системы управления

Вариации параметров системы управления, вызванные внешними возмущающими воздействиями или возмущающими факторами, действующими внутри системы управления, способствуют появлению дополнительного движения, которое при неконтролируемых изменениях параметров обычно является нежелательным. В связи с этим возникает проблема синтеза таких систем управления, которые были бы способны компенсировать нежелательные параметрические возмущающие воздействия.

В качестве математической модели системы управления будем рассматривать передаточную функцию W(x, h,s), где х - вектор настраиваемых параметров управляющей части, h – вектор неконтролируемых параметров. Синтез инвариантных систем управления обычно осуществляется с использованием показателей качества и ограничений, налагаемых на параметры. За показатели качества, характеризующие дополнительное движение, вызванное возмущающими воздействиями, могут приниматься максимальное отклонение дополнительного движения

или интегральное квадратичное отклонение вида:

.

Среди задач синтеза инвариантных систем выделяются задачи, в которых требования малой чувствительности формализованы в виде ограничений на дополнительное движение или на функцию чувствительности. В качестве ограничений могут использоваться соотношения:

Здесь приняты следующие обозначения: - функция чувствительности,  - точность. Отметим, что системы абсолютно инвариантные как и системы с нулевой чувсвительностью к изменению неконтролируемых параметров физически не реализуемы. Системы параметрически инвариантные до  и системы с  - чувствительностью принципиально могут быть физически реализованы. Рассмотрим класс систем управления, описываемых в комплексной плоскости системой уравнений, представленной формулой:

Y(x,h,s) = W(x,h,s) G(s),

(6.2)

где Y и G соответственно изображения сигналов на выходе и входе системы управления, W – передаточная функция системы управления, коэффициенты которой выражены явно через компоненты векторов х и h. За характеристику дополнительного движения, вызванного вариацией вектора h, выберем суммарное отклонение сигналов на выходе объекта управления вследствие отклонения параметров вектора h от номинальных (расчетных) значений h и запишем его в виде [9]:

(6.3)

где q – размерность вектора h. Дополнительное движение при вариации неконтролируемого параметра h , возникающее на выходе системы управления определим выражением:

Тогда ограничение на модуль дополнительного движения может быть представлено условием:

.

(6.4)

Систему управления назовем параметрически инвариантной до , если при вариации h дополнительное движение, возникшее в системе управления, не нарушит ограничение (6.4).